比判定法による収束半径

$x \neq c$ を固定し、数列級数 $\sum b_n$ の項 $b_n = a_n(x-c)^n$ に比判定法を適用する。次を計算する。

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n(x-c)^n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \cdot |x-c| = L\,|x-c|$。

数列級数の比判定法により、$L|x-c| < 1$ すなわち $|x-c| < 1/L$ のとき $\sum b_n$ は絶対収束し、$L|x-c| > 1$ すなわち $|x-c| > 1/L$ のとき発散する。したがって $|x-c| < 1/L$ を満たすすべての $x$ で級数は絶対収束し、$|x-c| > 1/L$ を満たすすべての $x$ で発散する。

これはまさに収束半径の定義——「$|x-c| < R$ のすべてで級数が収束するような最大の $R$」——に一致する。ゆえに $R = 1/L$。境界の場合、$L=0$(比が常に0に近づくのですべての $x$ で収束し $R=\infty$)と $L=\infty$(比が $x \neq c$ に対して発散するので $x=c$ でのみ収束し $R=0$)も同じ議論から従う。