べき級数とテイラー級数

比判定法は級数の連続する項を等比級数と比較する。連続する項の比の絶対値が最終的に1未満になれば、級数は収束する等比級数のように振る舞い、有限の和になる。

$x \neq c$ を固定し、数列級数 $\sum b_n$ の項 $b_n = a_n(x-c)^n$ に比判定法を適用する。次を計算する。

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n(x-c)^n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \cdot |x-c| = L\,|x-c|$。

数列級数の比判定法により、$L|x-c| < 1$ すなわち $|x-c| < 1/L$ のとき $\sum b_n$ は絶対収束し、$L|x-c| > 1$ すなわち $|x-c| > 1/L$ のとき発散する。したがって $|x-c| < 1/L$ を満たすすべての $x$ で級数は絶対収束し、$|x-c| > 1/L$ を満たすすべての $x$ で発散する。

これはまさに収束半径の定義——「$|x-c| < R$ のすべてで級数が収束するような最大の $R$」——に一致する。ゆえに $R = 1/L$。境界の場合、$L=0$(比が常に0に近づくのですべての $x$ で収束し $R=\infty$)と $L=\infty$(比が $x \neq c$ に対して発散するので $x=c$ でのみ収束し $R=0$)も同じ議論から従う。

べき級数は無限多項式のように振る舞い、多項式は項別に微分できる。この定理は、収束半径の内側に厳密にとどまる限り、この馴染み深い規則が無限個の項に移行しても成り立つことを述べている。

まず、項別微分した級数が同じ収束半径を持つことを示す。$c_n = n a_n$ を項別微分(添字をずらしたもの)の係数とする。$n \to \infty$ のとき $n^{1/n} \to 1$ なので $\limsup_n |n a_n|^{1/n} = \limsup_n |a_n|^{1/n}$ となり、コーシー・アダマールの公式により $\sum a_n(x-c)^n$ と $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ は同じ収束半径 $R$ を持つ。

次に、$\rho < R$ を満たす任意の閉区間 $[c-\rho, c+\rho]$ を固定する。この区間上で導関数の級数 $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ は一様収束する。なぜなら($n$ が十分大きいとき)各項はやや大きい半径 $\rho' \in (\rho, R)$ に由来する定数を用いて $M \rho^{n-1}$ で抑えられ、ワイエルシュトラスのM判定法が適用できるからである。

$[c-\rho, c+\rho]$ 上での導関数級数の一様収束と、元の級数 $\sum a_n(x-c)^n$ の各点収束を合わせると、関数の級数を項別に微分する標準定理が使え、和 $f(x)$ は $[c-\rho,c+\rho]$ 上で微分可能であり、そこで $f'(x)$ は導関数級数の和に等しい。$\rho < R$ は任意だったので、これは $(c-R,\ c+R)$ 全体で成り立つ。