射影変換のもとでの複比の不変性

共線な4点を、共通の2次元部分空間内にある斉次座標ベクトル $A, B, C, D \in \mathbb{R}^3$ で表し、$\varphi$ を可逆な $3\times 3$ 行列 $M$ で表す。すなわちベクトル $P$ を持つ点に $\varphi$ を適用すると斉次座標 $MP$ を持つ。

$A, B, C, D$ が共線であるため、代表元を $C = \lambda_1 A + \mu_1 B$、$D = \lambda_2 A + \mu_2 B$($\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2$ はスカラー)となるように選べる。複比 $(A,B;C,D)$ はこれら4つのスカラーのみから定義され、具体的には $\dfrac{\mu_1/\lambda_1}{\mu_2/\lambda_2}$ である。

線形写像 $M$ を適用すると、行列の積が線形結合に分配されるため、$MC = \lambda_1(MA) + \mu_1(MB)$、$MD = \lambda_2(MA) + \mu_2(MB)$ が成り立つ。したがって、まさに同じスカラー $\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2$ が $\varphi(A)$ と $\varphi(B)$ を用いて $\varphi(C)$ と $\varphi(D)$ を表す。

複比はこれらのスカラーのみに依存し、それらは $M$ によって変わらないため、$(\varphi(A),\varphi(B);\varphi(C),\varphi(D)) = (A,B;C,D)$ と結論でき、これがまさに主張された不変性である。