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幾何学

射影幾何学

無限遠点と遠近法の幾何学で、平行線が地平線上で交わる世界を扱う。

直観平行線はどこで交わるのか?

2本の長くまっすぐな線路の間に立って線路の先を眺めてみよう。実際には決して交わらない2本のレールが、地平線上のただ一点に収束するように見える。画家はまさにこのトリックを使い、建物の平行な辺を消失点で交わるように描く。射影幾何学はこの見え方を真剣に受け止め、各方向に「無限遠点」を1つ追加することで、平行な直線を含むあらゆる2直線がちょうど1点で交わるようにする。この一つの追加の発想が、透視図法・カメラの幾何学、そして点・直線・円錐曲線に関する最も古い定理のいくつかを統一する。

点と直線からなる接続構造を示すインタラクティブなネットワークグラフ
ファノ射影平面 PG(2,2)\mathrm{PG}(2,2):77 個の点と 77 本の直線(内接円が7本目の直線)からなり、各直線上に 33 点、各点を通る直線が 33 本ある。

大学射影平面における斉次座標

定義: 実射影平面

実射影平面 RP2\mathbb{RP}^2 の点とは、ゼロでない3つ組 (X,Y,Z)(X, Y, Z) の同値類であり、[X:Y:Z][X:Y:Z] と書く。ここで2つの3つ組が同じ点を表すのは、一方が他方のゼロでないスカラー倍であるとき、かつそのときに限る。

[X:Y:Z]∼[λX:λY:λZ],λ≠0[X : Y : Z] \sim [\lambda X : \lambda Y : \lambda Z], \qquad \lambda \neq 0

通常の(アフィン)平面は、(x,y)(x, y) を [x:y:1][x : y : 1] に送ることで RP2\mathbb{RP}^2 に埋め込まれる。Z=0Z = 0 を満たす点はどの通常の点にも対応せず、無限遠直線を形成し、方向に対応する:平行線の族ごとに1つの無限遠点がある。

(x,y)↦[x:y:1](x, y) \mapsto [x : y : 1]

定義: 点と直線の双対性

RP2\mathbb{RP}^2 における直線とは、固定された係数 [a:b:c][a:b:c](これもスカラー倍を除いてのみ定まる)に対する線形方程式 aX+bY+cZ=0aX + bY + cZ = 0 を満たす点 [X:Y:Z][X:Y:Z] の集合である。点 [X:Y:Z][X:Y:Z] が直線 [a:b:c][a:b:c] 上にあるのはちょうど aX+bY+cZ=0aX+bY+cZ=0 のときであり、この式は2つの3つ組について完全に対称であるため、点と直線に関するすべての真の命題は、「点」と「直線」、「上にある」と「通る」を入れ替えて得られる双対の命題を持つ。

aX+bY+cZ=0aX + bY + cZ = 0
射影平面における点と直線の双対性
点についての命題直線についての双対命題
異なる2点は唯一の直線を定める異なる2直線は唯一の点(交点)を定める
3点が共線である3直線が共点である
点 [X:Y:Z][X:Y:Z] が直線 [a:b:c][a:b:c] 上にある直線 [a:b:c][a:b:c] が点 [X:Y:Z][X:Y:Z] を通る

発展複比と古典的な配置定理

定義: 複比

共線な4点 A,B,C,DA, B, C, D に対して、複比 (A,B;C,D)(A,B;C,D) は、CC と DD が線分 ABAB を分ける2つの符号付き比の比である。これは射影幾何学の基本的な数値不変量であり、距離や通常の比とは異なり、透視図法によっても変わらない。

(A,B;C,D)=CA‾CB‾/DA‾DB‾(A,B;C,D) = \dfrac{\overline{CA}}{\overline{CB}} \Big/ \dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}}

発展重要な定理

定理: 射影変換のもとでの複比の不変性

RP2\mathbb{RP}^2 の射影変換 φ\varphi が共線な4点 A,B,C,DA, B, C, D を像直線上の A′,B′,C′,D′A', B', C', D' に写すならば、複比は一致する: (A,B;C,D)=(A′,B′;C′,D′)(A,B;C,D) = (A',B';C',D')。

なぜ正しいのか?

射影変換は斉次座標上の可逆な線形写像として表され、複比は2点を残りの2点の線形結合として表す係数だけから作られる。線形写像は線形結合を正確に保つため、これらの係数を変えることはできず、したがって複比は保たれる。

証明

共線な4点を、共通の2次元部分空間内にある斉次座標ベクトル A,B,C,D∈R3A, B, C, D \in \mathbb{R}^3 で表し、φ\varphi を可逆な 3×33\times 3 行列 MM で表す。すなわちベクトル PP を持つ点に φ\varphi を適用すると斉次座標 MPMP を持つ。

A,B,C,DA, B, C, D が共線であるため、代表元を C=λ1A+μ1BC = \lambda_1 A + \mu_1 B、D=λ2A+μ2BD = \lambda_2 A + \mu_2 B(λ1,μ1,λ2,μ2\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2 はスカラー)となるように選べる。複比 (A,B;C,D)(A,B;C,D) はこれら4つのスカラーのみから定義され、具体的には μ1/λ1μ2/λ2\dfrac{\mu_1/\lambda_1}{\mu_2/\lambda_2} である。

線形写像 MM を適用すると、行列の積が線形結合に分配されるため、MC=λ1(MA)+μ1(MB)MC = \lambda_1(MA) + \mu_1(MB)、MD=λ2(MA)+μ2(MB)MD = \lambda_2(MA) + \mu_2(MB) が成り立つ。したがって、まさに同じスカラー λ1,μ1,λ2,μ2\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2 が φ(A)\varphi(A) と φ(B)\varphi(B) を用いて φ(C)\varphi(C) と φ(D)\varphi(D) を表す。

複比はこれらのスカラーのみに依存し、それらは MM によって変わらないため、(φ(A),φ(B);φ(C),φ(D))=(A,B;C,D)(\varphi(A),\varphi(B);\varphi(C),\varphi(D)) = (A,B;C,D) と結論でき、これがまさに主張された不変性である。

定理: デザルグの定理

2つの三角形 ABCABC と A′B′C′A'B'C' について、直線 AA′AA'、BB′BB'、CC′CC' が共通の点 OO で交わる(2つの三角形は点に関して透視的である)とする。このとき、3点 P=BC∩B′C′P = BC \cap B'C'、Q=CA∩C′A′Q = CA \cap C'A'、R=AB∩A′B′R = AB \cap A'B' は共線である(2つの三角形は直線に関して透視的である)。

なぜ正しいのか?

平面内だけで考えると、多くの異なる直線が絡み合うため、この主張は繊細に見える。この図を3次元空間に持ち上げると、すべての接続関係が平面同士の交わりになり、異なる2平面は常に1本の直線で交わるため、3点は必ず1つの共通の直線上に乗ることになる。

証明

2つの三角形が R3\mathbb{R}^3 内の平面 π\pi にあるとみなし、π\pi の上方に空間的な配置を構成する:π\pi に属さない点 O^\widehat{O}、そして空間内の2つの異なる平面にある三角形 A^B^C^\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C} と A′^B′^C′^\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'} を、直線 A^A′^\widehat{A}\widehat{A'}、B^B′^\widehat{B}\widehat{B'}、C^C′^\widehat{C}\widehat{C'} がすべて O^\widehat{O} を通り、かつこの空間図を π\pi に射影し戻すと元の三角形 ABCABC と A′B′C′A'B'C' が OO から透視的になるように配置する。

この空間図において、直線 B^C^\widehat{B}\widehat{C} と直線 B′^C′^\widehat{B'}\widehat{C'} はどちらも O^,B^,C^\widehat{O}, \widehat{B}, \widehat{C} が張る平面内にある(B′^\widehat{B'} と C′^\widehat{C'} はそれぞれ O^\widehat{O} と B^,C^\widehat{B}, \widehat{C} を通る直線上にあるため)ので、これら2直線は点 P^\widehat{P} で交わる。同様に、辺 CACA と ABAB に対応する交点として Q^\widehat{Q} と R^\widehat{R} が空間内に存在する。

3点 P^,Q^,R^\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R} はいずれも三角形 A^B^C^\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C} を含む平面内にある(それぞれが2辺の組から作られるため)と同時に、A′^B′^C′^\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'} を含む平面内にもある。したがって P^,Q^,R^\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R} は、これら2平面が交わる直線上にある。なぜなら、空間内の異なる2平面は必ずちょうど1本の直線で交わるからである。

この空間配置を平面 π\pi に射影し戻すと P^,Q^,R^\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R} は P,Q,RP, Q, R に写り、共線性は保たれる。なぜなら、ある点からの射影は任意の直線を直線に写すからである。したがって P,Q,RP, Q, R は π\pi 内で共線であり、これがまさにデザルグの定理である。

大学実世界での応用と具体例

射影幾何学は、コンピュータビジョンと写真測量(2次元写真から3次元シーン構造を復元するために射影カメラモデルと斉次座標を用いる)、コンピュータグラフィックス(あらゆる3次元レンダリングパイプラインにおける透視投影行列は射影変換である)、および符号理論(有限射影平面はデータ保存やネットワーク伝送に使われる射影リード・マラー誤り訂正符号を与える)の基盤となっている。

例: 消失点の復元

ピンホールカメラで2本の平行な線路を撮影する。写真の中で、一方の線路は画素点 (0,390)(0, 390) と (300,420)(300, 420) を通り、もう一方の線路は画素点 (0,480)(0, 480) と (300,465)(300, 465) を通る。斉次座標を用いて各線路を射影直線としてモデル化し、2本の像直線が交わる消失点を求めよ。

解答

各画素を斉次点 [x:y:1][x:y:1] として書く。直線上の2点の外積はその直線の斉次座標 [a:b:c][a:b:c] を与える。1本目の線路については [0:390:1]×[300:420:1]=[−30:300:−117000]∼[1:−10:3900][0:390:1]\times[300:420:1] = [-30:300:-117000] \sim [1:-10:3900] となるので、1本目の線路は直線 X−10Y+3900=0X - 10Y + 3900 = 0 である。

2本目の線路の点 [0:480:1][0:480:1] と [300:465:1][300:465:1] についても同じ外積を行うと [15:300:−144000]∼[1:20:−9600][15:300:-144000] \sim [1:20:-9600] となり、すなわち直線 X+20Y−9600=0X + 20Y - 9600 = 0 が得られる。

消失点は2直線が交わる点である:2つの式を引き算して XX を消去すると 30Y−13500=030Y - 13500 = 0 となり Y=450Y = 450 を得る。これを代入して X=10(450)−3900=600X = 10(450) - 3900 = 600 を得る。

したがって消失点は画素 (600,450)(600, 450) にある:現実には決して交わらない2本の線路が写真の中で収束して見える点であり、これはまさに射影幾何学が予言する、平行線が無限遠直線上で交わり、それがカメラの透視によって画像内の有限な点に写されるという現象である。

例: 数直線上の複比

数直線上で、点 A,B,C,DA, B, C, D の符号付き座標がそれぞれ 0,1,3,60, 1, 3, 6 であるとする。複比 (A,B;C,D)(A,B;C,D) を計算せよ。

解答

定義 (A,B;C,D)=CA‾CB‾/DA‾DB‾(A,B;C,D)=\dfrac{\overline{CA}}{\overline{CB}} \Big/ \dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}} を用いて、まず符号付き長さを計算する: CA‾=0−3=−3\overline{CA} = 0-3=-3、CB‾=1−3=−2\overline{CB}=1-3=-2、DA‾=0−6=−6\overline{DA}=0-6=-6、DB‾=1−6=−5\overline{DB}=1-6=-5。

2つの比を作る: CA‾CB‾=−3−2=32\dfrac{\overline{CA}}{\overline{CB}} = \dfrac{-3}{-2} = \dfrac{3}{2}、DA‾DB‾=−6−5=65\dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}} = \dfrac{-6}{-5} = \dfrac{6}{5}。

最初の比を2番目の比で割る: (A,B;C,D)=3/26/5=32⋅56=1512=54(A,B;C,D) = \dfrac{3/2}{6/5} = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}。

したがって (A,B;C,D)=54(A,B;C,D) = \dfrac{5}{4} である。複比は射影不変量であるため、上で証明した不変性の定理により、A,B,C,DA, B, C, D にどんな射影変換を施しても得られる4点の複比はやはりちょうど 54\dfrac{5}{4} である。

次のうち、[2:−4:6][2 : -4 : 6] と同じ射影点を表す斉次座標の3つ組はどれか。

射影平面上のある直線が斉次方程式 2X−Y+4Z=02X - Y + 4Z = 0 を持つとする。(Z=1Z=1 での)アフィン点のうちどれがこの直線上にあるか。

実射影平面において、「3点が共線である」の双対命題は何か。

写真測量において、実際には平行な建物の2つの辺が、写真では延長すると1つの画素で交わる線分として現れる。この交点はどの射影幾何学的な概念で説明されるか。

参考文献

  1. H. S. M. Coxeter (1974). Projective Geometry
  2. Jürgen Richter-Gebert (2011). Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Geometry
  3. Wikipedia contributors (2026). Pascal's theorem — Wikipedia
  4. Wikipedia contributors (2026). Lam's problem — Wikipedia