三角不等式(実数の場合)

絶対値の定義により、すべての実数 $x$ は $-|x|\le x\le |x|$ を満たす。これを $a$、$b$ それぞれに適用する: $-|a|\le a\le |a|$ と $-|b|\le b\le |b|$。

この2つの不等式の連鎖を辺々加える(加法は向きを保つので可能): $-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$。

$M\ge 0$ に対する命題 $-(M)\le y\le M$ は、絶対値の定義によりちょうど $|y|\le M$ と同値である。ここで $y=a+b$、$M=|a|+|b|$ なので $|a+b|\le |a|+|b|$、すなわち $|a+b| \le |a|+|b|$ が得られる。

等号が成立するには両方の連鎖不等式が同時に等号でなければならず、これは $a$ と $b$ が同符号(両方非負または両方非正)であることを強制する。そのときに限り $a$ と $b$ の間で打ち消しが起こらないからである。