超距離不等式（強三角不等式）

$x = p^{v_p(x)} u$、$y = p^{v_p(y)} w$ と書く。ここで $u, w$ は $\mathbb{Z}_p$ の単元（すなわち $|u|_p = |w|_p = 1$）とし、一般性を失うことなく $v_p(x) \le v_p(y)$、したがって $|x|_p \ge |y|_p$ とする。小さい方の冪をくくり出すと $x + y = p^{v_p(x)}(u + p^{v_p(y)-v_p(x)} w)$。括弧内は $\mathbb{Z}_p$ の元同士の和なので本物の $\mathbb{Z}_p$ の元であり、その $p$進絶対値は $\le 1$ である；したがって $|x+y|_p \le p^{-v_p(x)} = |x|_p = \max(|x|_p, |y|_p)$ となり不等式が示される。さらに $v_p(x) < v_p(y)$ が真に成り立つ（すなわち $|x|_p \ne |y|_p$）ならば、$p^{v_p(y)-v_p(x)} w \equiv 0 \pmod p$ である一方 $u$ は単元なので、$u + p^{v_p(y)-v_p(x)} w \equiv u \not\equiv 0 \pmod p$ もまた単元であり、ゆえに $|x+y|_p = p^{-v_p(x)}$ が正確に成り立ち、等号が得られる。