算術と数論

p進数とp進数論

素数 $p$ は $\mathbb{Q}$ に第二の非アルキメデス的な距離の概念を与える：差が $p$ の高い冪で割り切れるとき、2つの数は近いとみなされる。この距離で $\mathbb{Q}$ を完備化すると、ヘンゼルの補題やオストロフスキーの定理、現代の数論幾何学が息づく体 $\mathbb{Q}_p$ が得られる。

直観近さを割り切れるかどうかで定義し直す

通常、2つの数が近いとは差が小さいことを意味する。ここでは代わりに素数 $p$ を1つ固定し、2つの整数は差が ** $p$ の高い冪 で割り切れるとき近いと定める。これは比喩ではなく、まったく別の規則から構成された本物の、厳密な距離の概念である。鍵となる道具が $p$ 進付値** $v_p(n)$ であり、整数 $n$ を割り切る $p$ の最大冪の指数である（ $v_p(0) = \infty$ とする）。 $v_p(n)$ が大きいほど、 $n$ は $p$ 進的な意味で「小さい」——数直線上での $n$ の見た目とはまったく逆になる。

素数 $p = 5$ で具体的に確かめてみよう。整数 $2$ 、 $7$ 、 $12$ 、 $127$ を考える。 $7 - 2 = 5$ なので $v_5(7-2) = 1$ 、また $12 - 2 = 10 = 2 \cdot 5$ なので同じく $v_5(12-2) = 1$ である。しかし $127 - 2 = 125 = 5^3$ なので $v_5(127-2) = 3$ となる。 $5$ 進的な意味では $127$ は $7$ や $12$ よりも $2$ にはるかに近い—— $127$ が通常の数直線上では巨大に見え、 $7$ 、 $12$ の方が近くに見えるにもかかわらず、である。近さを決めるのは通常の大きさではなく、 $5^3$ による割り切れやすさなのだ。

ここに表示された時計盤は

\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/3^2\mathbb{Z}

であり、極限が

3

進整数

\mathbb{Z}_3

を構成する塔

\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/3^2\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/3^3\mathbb{Z}, \dots

の有限な一段階である。2つの整数が同じ点に重なるのは、それらが

9

を法として合同である場合、すなわち

3

進距離が

3^{-2}

以下である場合に限る。

p

のより高い冪を法とする合同は、常にその

p

進距離がより近いことを意味する。

大学有限環の極限として $\mathbb{Z}_p$ を構成する

付値 $v_p$ は $x \ne 0$ に対して $|x|_p = p^{-v_p(x)}$ 、 $|0|_p = 0$ と定めることで $\mathbb{Q}$ 上の本物の絶対値になる： $p \nmid a$ 、 $p \nmid b$ として $x = p^{v_p(x)} \frac{a}{b}$ と書くと、 $x$ が $p$ でどれだけ割り切れるかがちょうど切り出される。これは通常の絶対値とまったく同様に乗法的であり、 $|xy|_p = |x|_p |y|_p$ が成り立つので、 $d_p(x, y) = |x-y|_p$ は $\mathbb{Q}$ 上の本物の距離となる——おなじみのユークリッド距離のライバルである。

|x|_p = p^{-v_p(x)}

$|\cdot|_p$ に関する $\mathbb{Q}$ の完備化 $\mathbb{Q}_p$ を構成する同値な2つの方法がある：(1) 通常の距離に関するコーシー列が $\mathbb{Q}$ から $\mathbb{R}$ を作るのとまったく同様に、 $d_p$ に関して $\mathbb{Q}$ を形式的に完備化する；または (2) まず有限環の逆極限として** $p$ 進整数**を、 $\mathbb{Z}_p = \varprojlim_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ ——法 $p, p^2, p^3, \dots$ に関する両立した剰余の列——として構成し、次にその商体として $\mathbb{Q}_p$ を作る。どちらの道筋も同じ体を与える。

\mathbb{Z}_p = \varprojlim_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}

定義: $p$ 進整数と $p$ 進数

$x \in \mathbb{Q}_p$ を満たすゼロでない任意の元は一意な** $p$ 進展開** $x = \sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i$ を持つ。ここで $k = v_p(x) \in \mathbb{Z}$ 、桁は $0 \le a_i \le p-1$ 、 $a_k \ne 0$ である；級数は $|a_i p^i|_p = p^{-i} \to 0$ ゆえに収束する。ある元が $\mathbb{Z}_p$ に属するのはちょうど $k \ge 0$ のとき、すなわち $p$ の負冪を持たない通常の（無限にもなりうる） $p$ 進法展開であるときである——これは小数点前の桁数は有限だが後ろは無限にありうる小数の $p$ 進版だが、無限に続く部分が $p$ のより低い冪ではなくより高い冪へ向かう点が異なる。

x = \sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i,\quad 0 \le a_i \le p-1,\ k = v_p(x)

位相的には、 $\mathbb{Z}_p$ （すべての桁列 $a_0, a_1, a_2, \dots$ ）はコンパクトである：これは有限離散集合の積 $\prod_{i \ge 0} \{0, \dots, p-1\}$ と同相なので、チコノフの定理がそのまま適用できる。したがって $\mathbb{Q}_p = \bigcup_{k} p^{-k} \mathbb{Z}_p$ は局所コンパクトである（任意の点がコンパクトな近傍を持つ、具体的には $\mathbb{Z}_p$ の平行移動）、ちょうど $\mathbb{R}$ が局所コンパクトだがコンパクトではないのと同様である。この局所コンパクト性のおかげで $\mathbb{Q}_p$ はハール測度を持ち、本物の $p$ 進解析と積分を支えることができる。

定理: 超距離不等式（強三角不等式）

任意の $x, y \in \mathbb{Q}_p$ に対して $|x+y|_p \le \max(|x|_p, |y|_p)$ が成り立ち、 $|x|_p \ne |y|_p$ であれば常に等号 $|x+y|_p = \max(|x|_p, |y|_p)$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

これは $p$ 進世界を通常の幾何学から分ける決定的な特徴であり、すべての三角形を二等辺三角形にする。3点の間の3つのペア距離を $d_p(x,z) = |x-z|_p$ 、 $d_p(x,y)$ 、 $d_p(y,z)$ とすると、そのうち最大の2つは等しくなければならない。1辺が他の2辺より真に長い $p$ 進三角形というものは存在しない——これは $\mathbb{R}$ 上の通常の絶対値には対応物のない描像である。

証明

$x = p^{v_p(x)} u$ 、 $y = p^{v_p(y)} w$ と書く。ここで $u, w$ は $\mathbb{Z}_p$ の単元（すなわち $|u|_p = |w|_p = 1$ ）とし、一般性を失うことなく $v_p(x) \le v_p(y)$ 、したがって $|x|_p \ge |y|_p$ とする。小さい方の冪をくくり出すと $x + y = p^{v_p(x)}(u + p^{v_p(y)-v_p(x)} w)$ 。括弧内は $\mathbb{Z}_p$ の元同士の和なので本物の $\mathbb{Z}_p$ の元であり、その $p$ 進絶対値は $\le 1$ である；したがって $|x+y|_p \le p^{-v_p(x)} = |x|_p = \max(|x|_p, |y|_p)$ となり不等式が示される。さらに $v_p(x) < v_p(y)$ が真に成り立つ（すなわち $|x|_p \ne |y|_p$ ）ならば、 $p^{v_p(y)-v_p(x)} w \equiv 0 \pmod p$ である一方 $u$ は単元なので、 $u + p^{v_p(y)-v_p(x)} w \equiv u \not\equiv 0 \pmod p$ もまた単元であり、ゆえに $|x+y|_p = p^{-v_p(x)}$ が正確に成り立ち、等号が得られる。

|x+y|_p \le \max(|x|_p, |y|_p),\quad \text{equality if } |x|_p \ne |y|_p

例: $p = 3$ で二等辺三角形の性質を確かめる

$x = 54$ 、 $y = 24$ 、 $p = 3$ とする。 $|54|_3$ と $|24|_3$ を直接計算し、 $54 + 24 = 78$ に対して超距離不等式の予測を確かめよ。

解答

因数分解すると $54 = 2 \cdot 3^3$ なので $v_3(54) = 3$ 、 $|54|_3 = 3^{-3} = 1/27$ である。また $24 = 2^3 \cdot 3$ なので $v_3(24) = 1$ 、 $|24|_3 = 3^{-1} = 1/3$ である。 $|54|_3 = 1/27 \ne 1/3 = |24|_3$ なので定理の等号のケースが適用され、 $|78|_3 = \max(1/27, 1/3) = 1/3$ が予測される。直接計算すると $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$ なので $v_3(78) = 1$ 、 $|78|_3 = 1/3$ となり、予測どおりである。頂点 $0$ 、 $54$ 、 $78$ を持つ三角形（ $3$ 進距離での辺が $54$ 、 $24$ 、 $78$ ）は、 $1/27$ の辺と $1/3$ の辺を持つ……より正確には、その2つの最大距離がともに $1/3$ となり、二等辺の形を確認できる。

定理: ヘンゼルの補題

$f(X) \in \mathbb{Z}_p[X]$ とし、 $a \in \mathbb{Z}_p$ が $f(a) \equiv 0 \pmod p$ かつ $f'(a) \not\equiv 0 \pmod p$ （**法 $p$ での単純根**）を満たすとする。このとき $f(\alpha) = 0$ を正確に満たし $\alpha \equiv a \pmod p$ となる $\alpha \in \mathbb{Z}_p$ が一意に存在する。

なぜ正しいのか?

これはニュートン法の $p$ 進版のいとこだが、単に近似的に収束するのではなく正確に収束する点が異なる： $\mathbb{Q}_p$ が完備で $|\cdot|_p$ が超距離的であるため、ニュートン反復 $a_{n+1} = a_n - f(a_n)/f'(a_n)$ は根に近づくだけでなく、桁ごとに安定し、無限回の修正の末にぴったり根に到達する。法 $p$ での単純根は $\mathbb{Z}_p$ の本物の根へと一意に「持ち上がる」ことが保証されており、有限で検証可能な合同条件を正確な $p$ 進数の存在証明へと変えるのである。

証明

$\alpha$ を逐次近似 $a = a_0, a_1, a_2, \dots \in \mathbb{Z}_p$ の極限として、 $a_{n+1} = a_n - f(a_n)/f'(a_n)$ により構成する。帰納法により $v_p(f(a_n)) \ge n+1$ かつ $v_p(f'(a_n)) = v_p(f'(a)) = 0$ が全ての $n$ で成り立つことを示す（各段階で $a_{n+1} \equiv a_n \pmod p$ なので導関数は単元のままであり、常に $f'(a_n) \equiv f'(a) \not\equiv 0 \pmod p$ である）。すると $v_p(a_{n+1}-a_n) = v_p(f(a_n)) - v_p(f'(a_n)) \ge n+1$ となるので $(a_n)$ は $p$ 進距離でコーシー列であり、 $\mathbb{Z}_p$ の完備性によりある $\alpha \equiv a \pmod p$ に収束し、 $f$ の連続性から $f(\alpha) = \lim f(a_n) = 0$ が従う。一意性： $\beta \ne \alpha$ が $\beta \equiv a \pmod p$ を満たす別の根であったとすると、平均値定理／テイラー展開 $f(\beta) - f(\alpha) = (\beta-\alpha)(f'(\alpha) + p(\cdots))$ において $f'(\alpha)$ が単元であることから $\beta = \alpha$ が強制される。

f(a) \equiv 0 \pmod p,\qquad f'(a) \not\equiv 0 \pmod p \ \implies\ \exists!\, \alpha \in \mathbb{Z}_p:\ f(\alpha)=0,\ \alpha \equiv a \pmod p

例: $\sqrt{2}$ を $\mathbb{Z}_7$ へ持ち上げる

$f(X) = X^2 - 2$ 、 $p = 7$ とする。 $3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$ なので $a_0 = 3$ は法 $7$ での根である。ヘンゼルの補題を使って次の $7$ 進桁、すなわち $\alpha \bmod 49$ を求めよ。

解答

仮定を確認する： $f(3) = 9 - 2 = 7 \equiv 0 \pmod 7$ 、かつ $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6 \not\equiv 0 \pmod 7$ なので、ヘンゼルの補題が適用できる。次の近似を $k \in \{0, \dots, 6\}$ として $a_1 = 3 + 7k$ と書き、法 $49$ で展開する： $(3+7k)^2 = 9 + 42k + 49k^2 \equiv 9 + 42k \pmod{49}$ 。 $9 + 42k \equiv 2 \pmod{49}$ 、すなわち $42k \equiv -7 \equiv 42 \pmod{49}$ が必要であり、両辺を $7$ で割ると $6k \equiv 6 \pmod 7$ となるので $k \equiv 1 \pmod 7$ 。 $k=1$ を取ると $a_1 = 3 + 7 = 10$ 。確認： $10^2 = 100 = 2 \cdot 49 + 2 \equiv 2 \pmod{49}$ ——ちょうど正しい。したがって $\alpha \equiv 10 \pmod{49}$ であり、この過程を続けることで $\alpha = \dots a_2 a_1 a_0$ を $7$ 進法で永遠に1桁ずつ確定していける。

発展オストロフスキーの定理： $p$ 進数は実数とまったく同等に基本的である

各素数 $p$ がそれぞれ独自の $\mathbb{Q}_p$ を生み出すのに、なぜ $\mathbb{R}$ だけを $\mathbb{Q}$ の唯一の完備化として特別扱いするのか。正直な答えは、そうする理由など何もないということである： $\mathbb{R}$ は「無限の場所」であること以外、 $\mathbb{Q}$ 上の絶対値の中で特別な地位を持たない。これを精密にしたのがオストロフスキーの定理であり、この定理こそが、 $p$ 進数論が数論に後付けされた奇妙なものではなく、実数そのものとまったく同等に基本的であることを保証している。

定理: オストロフスキーの定理（1916年）

$\mathbb{Q}$ 上の任意の非自明な絶対値は、通常の絶対値 $|\cdot|_\infty$ と同値であるか、ちょうど1つの素数 $p$ に対する $|\cdot|_p$ と同値であるかのいずれかである。

なぜ正しいのか?

これは、 $\mathbb{Q}$ の「場所」——大きさを測り体を完備化する本質的に異なる方法——が、通常の絶対値を表す1つの追加の「無限素点」 $\infty$ とともに、古典的な素数 $2, 3, 5, 7, \dots$ そのものであることを示している。 $\infty$ を構造的に他のどの $p$ とも区別するものは何もなく、たまたまそれが唯一のアルキメデス的な場所であるにすぎない。この1つの事実こそが、アデールと現代数論全体の局所大域哲学の種である： $\mathbb{Q}$ を理解するには、すべての場所 $\mathbb{R}, \mathbb{Q}_2, \mathbb{Q}_3, \mathbb{Q}_5, \dots$ を同時に研究すればよい。

証明

概略。 $|\cdot|$ を $\mathbb{Q}$ 上の非自明な絶対値とする。場合1（非アルキメデス）： すべての整数 $n$ について $|n| \le 1$ ならば、集合 $\mathfrak{p} = \{n \in \mathbb{Z} : |n| < 1\}$ は $\mathbb{Z}$ の素イデアルである（ $\mathbb{Z}$ 上 $|n|\le1$ を満たす任意の絶対値が自動的に満たす超距離不等式により加法で閉じており、素性により乗法でも閉じている）。したがって一意の素数 $p$ について $\mathfrak{p} = (p)$ であり、 $|p|$ を $p^{-1}$ と比較し乗法性を用いると $|\cdot|$ が $|\cdot|_p$ と同値であることが分かる。場合2（アルキメデス）： ある整数 $n_0$ について $|n_0| > 1$ ならば、 $n_0$ を底として任意の整数 $n > 1$ を表し、三角不等式と $|n_0^k| = |n_0|^k \to \infty$ を用いて $|n|$ を $n$ 自身の冪で上下から評価すると、 $n$ に依存しない定数 $c \in (0,1]$ について $|n| = n^c$ が強制される；これにより $|\cdot|$ は $|\cdot|_\infty$ と同値になる。

この局所大域の哲学は二次形式に対して見事な成果をもたらす。ハッセ・ミンコフスキーの定理（ハッセ、1920年代初頭、ミンコフスキーの仕事の上に構築）は、 $\mathbb{Q}$ 上の多変数二次形式 $f$ が $\mathbb{Q}$ 上で非自明に $0$ を表すのは、そのすべての完備化—— $\mathbb{R}$ 上、およびすべての素数 $p$ に対する $\mathbb{Q}_p$ 上——で非自明に $0$ を表す場合、かつその場合に限ると述べる。 $\mathbb{R}$ 上の可解性の確認は単なる符号条件にすぎず、 $\mathbb{Q}_p$ 上の可解性の確認はヘンゼルの補題を使った有限の計算に帰着する——したがって $\mathbb{Q}^n$ 上の先験的には無限の探索が、有限個の簡単な局所チェックへと崩れ落ちる。これは局所大域（ハッセ）原理の典型例である；これは二次形式に特有の本物の奇跡であり、 $3$ 次形式ではこれが成り立たないことがある（セルマーの曲線 $3x^3+4y^3+5z^3=0$ はあらゆる局所的な場所に点を持つが有理点を持たない）。

f\ \text{represents}\ 0\ \text{over}\ \mathbb{Q} \iff f\ \text{represents}\ 0\ \text{over}\ \mathbb{R}\ \text{and over}\ \mathbb{Q}_p\ \text{for every prime}\ p

正直な注意書き： この有限二分木はあくまで例示的な代用品であり、

\mathrm{SL}_2(\mathbb{Q}_p)

に付随するブリュア・ティッツ木の文字通りの姿ではない。本物のブリュア・ティッツ木は無限で

(p+1)

-正則である——各頂点は

2

個ではなく

p+1

個の隣接頂点を持つ——そしてその頂点は

\mathbb{Q}_p^2

における格子の相似類である。この図が正直に伝えているのは、そうした木すべてに共通する定性的な形である：分岐し自己相似的でサイクルのない構造であり、入れ子になった

p

進球が決して部分的に重なり合わない——常に互いに素であるか一方が他方を含むかのどちらかである——様子を、枝が分かれて二度と合流しない様子として映し出している。

$\mathbb{Q}_p$ は局所体の原型であり、任意の数体 $K$ もそれぞれの素数における完備化の族を持ち、 $\mathbb{Q}_p$ を一般化する——これらは代数的整数論の局所大域機構（類体論、分岐、ガロア表現）の基本対象である。 $p$ を固定し体を塔 $\mathbb{Q}_p \subset K_\infty$ の中で動かすのが岩澤理論の舞台であり、その $p$ 進 $L$ 関数は古典的な $L$ 値を $p$ 進的に補間し、深い数論的不変量（類数、セルマー群）を符号化する——現代の数論幾何学の主要な原動力の1つであり、バーチ・スウィンナートン＝ダイア予想などに立ち向かう道具に直接つながっている。

研究パーフェクトイド空間と生きた最前線

20世紀の大半、 $p$ 進数は代数的整数論の内部にとどまっていた。それが2010年代、ペーター・ショルツェによるパーフェクトイド空間の導入で変わった：これは（ $\mathbb{Q}_p(p^{1/p^\infty})$ のような塔から構成される）非常に分岐した $p$ 進幾何学的対象であり、その幾何学は「チルティング」対応を通じて、驚くべきことに正標数におけるある種の空間の幾何学と同値になる。これにより、標数 $p$ の幾何学（フロベニウスが物事を容易にする世界）に関する深い定理を、混標数・ $p$ 進標数の新しい結果を証明するために逆輸送でき、またその逆も可能になる。

歴史的ノート

$p$ 進数は1897年、ドイツの数学者クルト・ヘンゼルによって、整数と冪級数の類似性に着想を得た代数的整数論の新しい基礎に関する論文の中で導入された。その後20年間、これは奇妙な代物として扱われた。1916年にアレクサンダー・オストロフスキーが分類定理を証明し、ヘンゼルの構成が恣意的なものではなく実数と対等な地位にあることを示した。1920年代初頭、ヘルムート・ハッセは、二次形式に関するヘルマン・ミンコフスキーの19世紀の仕事を土台に、局所大域（ハッセ・ミンコフスキー）原理を証明し、 $p$ 進数を代数的な奇妙な存在から主流の数論に不可欠な道具へと変えた。

研究の最前線 2026年時点

2026年現在、パーフェクトイド空間とその後継概念は数論幾何学の中心的な原動力であり続けている。ペーター・ショルツェは2018年フィールズ賞を『パーフェクトイド空間の導入を通じて $p$ 進体上の数論代数幾何学を変革し、ガロア表現への応用と新しいコホモロジー理論の発展を行った功績により』受賞した。活発な方向性には、 $p$ 進ホッジ理論の拡張と、従来separateだったエタール・クリスタリン・ド・ラーム理論を統一する新しい $p$ 進コホモロジー理論（Bhatt と Scholze によるプリズマティックコホモロジー）の構築；一部が $p$ 進幾何学に動機づけられた位相代数の広範な再構築である凝縮数学（condensed mathematics、Clausen–Scholze）；そしてパーフェクトイド技法からラングランズ・プログラムの新しい事例や局所大域整合性を引き出す進行中の研究が含まれる。プリズマティックおよび凝縮的手法が数論幾何学におけるねじれ現象について証明できることの正確な境界は、依然として活発で未解決な研究課題である。

$p=3$ のとき $|x|_p = 1/9$ 、 $|y|_p = 1/27$ ならば、超距離不等式は $|x+y|_p$ について何を教えてくれるか。

オストロフスキーの定理によれば、同値を除いて $\mathbb{Q}$ 上の非自明な絶対値とは何か。

ヘンゼルの補題が、法 $p$ での $f$ の根 $a$ を $\mathbb{Z}_p$ における正確な根へ持ち上げることを可能にするのは、どの条件が成り立つときか。

ゼロでない整数 $n$ の $p$ 進付値 $v_p(n)$ は何を測るか。

参考文献

Neal Koblitz (1984). p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions · DOI:10.1007/978-1-4612-1112-9
Peter Scholze (2012). Perfectoid spaces · arXiv:1111.4914

p進数とp進数論

直観近さを割り切れるかどうかで定義し直す

大学有限環の極限として Zp\mathbb{Z}_pZp​ を構成する

発展オストロフスキーの定理：ppp進数は実数とまったく同等に基本的である

研究パーフェクトイド空間と生きた最前線

参考文献

大学有限環の極限として $\mathbb{Z}_p$ を構成する

発展オストロフスキーの定理： $p$ 進数は実数とまったく同等に基本的である