ベイズの定理

条件付き確率の定義より、$\mathbb{P}(B) > 0$ のとき $\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$ であり、対称的に $\mathbb{P}(A) > 0$ のとき $\mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$ である。$\mathbb{P}(A \cap B)$ に関する2つの式を等置すると $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B \mid A)\,\mathbb{P}(A)$ となり、$\mathbb{P}(B)$ で割れば $\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(B \mid A)\,\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$ が得られる。$A_1, \dots, A_k$ が標本空間を分割するとき、全確率の公式により分母は $\mathbb{P}(B) = \sum_{i=1}^k \mathbb{P}(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^k \mathbb{P}(B \mid A_i)\,\mathbb{P}(A_i)$ と展開される。