定義証明済み

コルモゴロフの確率の公理

内容

確率空間とは、標本空間 $\Omega$ 、 $\Omega$ の部分集合からなる $\sigma$ -加法族 $\mathcal{F}$ （その元を事象と呼ぶ）、および次の3つの公理を満たす関数 $\mathbb{P} : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ の3つ組 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ である：(1) 非負性：すべての $A \in \mathcal{F}$ に対して $\mathbb{P}(A) \ge 0$ ；(2) 正規化： $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ ；(3) 可算加法性（完全加法性）：互いに排反な事象の任意の列 $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{F}$ （ $i \ne j$ のとき $A_i \cap A_j = \varnothing$ ）に対して $\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i)$ 。

なぜ正しいのか?

コルモゴロフの公理は、起こり得る結果の空間 $\Omega$ の上に分布する質量や面積と同じように確率を扱う。すなわち、どの事象も負でない重みをもち、すべての可能性を合わせた全体の重みは $1$ であり、重なり合わない部分（可算無限個であってもよい）を合わせた重みはそれぞれの重みの単純な和になる。

証明の概略

この3つの公理から確率の標準的な規則がすべて直ちに導かれる。 $A_1 = \Omega$ 、 $i \ge 2$ に対して $A_i = \varnothing$ と置けば $1 = \mathbb{P}(\Omega) = \mathbb{P}(\Omega) + \sum_{i=2}^{\infty} \mathbb{P}(\varnothing)$ となり、 $\mathbb{P}(\varnothing) = 0$ が従う。有限加法性は $i > n$ で $A_i = \varnothing$ と置くことで得られる。さらに $A$ と $A^c$ は排反で $A \cup A^c = \Omega$ を満たすので、 $\mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A)$ 、 $A \subseteq B$ のときの単調性 $\mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)$ 、および可算加法性による単調事象列に対する確率の連続性が従う。

提示者

1933年に提示アンドレイ・コルモゴロフ

証明者

1933年に証明アンドレイ・コルモゴロフ

この定理を使うトピック

事象と確率

参考文献

Andrey Kolmogorov (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Andrey Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability