加法の法則(2つの事象に対する包除原理)

第1段階(和集合を互いに素な部分に分ける):$A \cup B$ を、互いに素な3つの部分——$A \setminus B$($A$にのみ属する根元事象)、$A \cap B$(両方に属する根元事象)、$A \cap B$$B \setminus A$($B$にのみ属する根元事象)——に分ける。第4段階まで進む前に、$A \cup B$ のすべての根元事象は、この3つの部分のうちちょうど1つに属する。

第2段階(互いに素な集合に対する加法の法則で和集合を数える):3つの部分は互いに素なので、根元事象の個数は $|A \cup B| = |A \setminus B| + |A \cap B| + |B \setminus A|$ を満たす。

第3段階($|A|$ と $|B|$ を同じ3つの部分で表す):同様に、$|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$($A$ が $B$ と重なるかどうかで分ける)と $|B| = |B \setminus A| + |A \cap B|$($B$ を同じ方法で分ける)である。この2つの式を足すと $|A| + |B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + 2|A \cap B|$ が得られる。

第4段階(組み合わせて $|\Omega|$ で割る):第2段階と第3段階を比較すると、$|A| + |B| - |A \cap B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B| = |A \cup B|$ が得られる。両辺を $|\Omega|$ で割り、古典的確率の公式 $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ を各項に適用すると、まさに $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ が得られる。