事象と確率

単純に $P(A)$ と $P(B)$ を足すと、両方の事象に属する各根元事象が2回数えられてしまう——$P(A)$ の中で一度、$P(B)$ の中で一度——ので、重なり $P(A \cap B)$ をちょうど一度取り除いて数を修正する必要がある。

第1段階(和集合を互いに素な部分に分ける):$A \cup B$ を、互いに素な3つの部分——$A \setminus B$($A$にのみ属する根元事象)、$A \cap B$(両方に属する根元事象)、$A \cap B$$B \setminus A$($B$にのみ属する根元事象)——に分ける。第4段階まで進む前に、$A \cup B$ のすべての根元事象は、この3つの部分のうちちょうど1つに属する。

第2段階(互いに素な集合に対する加法の法則で和集合を数える):3つの部分は互いに素なので、根元事象の個数は $|A \cup B| = |A \setminus B| + |A \cap B| + |B \setminus A|$ を満たす。

第3段階($|A|$ と $|B|$ を同じ3つの部分で表す):同様に、$|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$($A$ が $B$ と重なるかどうかで分ける)と $|B| = |B \setminus A| + |A \cap B|$($B$ を同じ方法で分ける)である。この2つの式を足すと $|A| + |B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + 2|A \cap B|$ が得られる。

第4段階(組み合わせて $|\Omega|$ で割る):第2段階と第3段階を比較すると、$|A| + |B| - |A \cap B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B| = |A \cup B|$ が得られる。両辺を $|\Omega|$ で割り、古典的確率の公式 $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ を各項に適用すると、まさに $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ が得られる。

両方 $A$ と $B$ を独立に満たす結果を選ぶことは2段階の数え上げ過程(数え上げの乗法の法則)であるため、望ましい組の個数は各成分における望ましい結果の個数の積に等しい。

第1段階(数え上げの準備):$|A| = a$ とし、$|B| = b$ とする。$\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$ の根元事象で両方の条件を満たすものは、$(\omega_1, \omega_2)$ を満たす組 $\omega_1 \in A$ と $\omega_2 \in B$ である。

第2段階(数え上げの乗法の法則を適用する):$\omega_1$ を選ぶ方法は $a$ 通りあり、その選択とは独立に $\omega_2$ を選ぶ方法は $b$ 通りあるので、数え上げの乗法の法則により、望ましい組は $a \cdot b$ 個ある。

第3段階(結果の総数で割る):標本空間全体には $m \cdot n$ 通りの同様に確からしい根元事象があるので、$P(A \cap B) = \frac{ab}{mn}$ が成り立つ。

第4段階(分数を因数分解する):書き直すと $\frac{ab}{mn} = \frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = P(A) \cdot P(B)$ となる。ここで $P(A) = a/m$ と $P(B) = b/n$ が古典的確率の公式によるものであり、これで主張が証明された。