独立事象に対する乗法の法則(定理)

第1段階(数え上げの準備):$|A| = a$ とし、$|B| = b$ とする。$\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$ の根元事象で両方の条件を満たすものは、$(\omega_1, \omega_2)$ を満たす組 $\omega_1 \in A$ と $\omega_2 \in B$ である。

第2段階(数え上げの乗法の法則を適用する):$\omega_1$ を選ぶ方法は $a$ 通りあり、その選択とは独立に $\omega_2$ を選ぶ方法は $b$ 通りあるので、数え上げの乗法の法則により、望ましい組は $a \cdot b$ 個ある。

第3段階(結果の総数で割る):標本空間全体には $m \cdot n$ 通りの同様に確からしい根元事象があるので、$P(A \cap B) = \frac{ab}{mn}$ が成り立つ。

第4段階(分数を因数分解する):書き直すと $\frac{ab}{mn} = \frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = P(A) \cdot P(B)$ となる。ここで $P(A) = a/m$ と $P(B) = b/n$ が古典的確率の公式によるものであり、これで主張が証明された。