二項定理

内容

任意の非負整数 $n$ に対し、$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ が成り立つ。ここで $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ である。

なぜ正しいのか?

$(x+y)^n$ を展開するとは、$n$ 個の因子それぞれについて $x$ を取るか $y$ を取るかを選ぶことに他ならない。$x^{n-k}y^k$ の係数は、どの $k$ 個の因子（$n$ 個のうち）が $y$ を出すかを選ぶ場合の数を数えたものであり、それはちょうど $\binom{n}{k}$ である。

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