定理証明済み

バーコフのエルゴード定理

内容

$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ を、 $\mu$ が確率測度であるような測度保存系とし、 $f \in L^1(\mu)$ とする。このとき時間平均 $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(T^k x)$ は $\mu$ -ほとんど至る所で、 $T$ -不変な関数 $f^*$ に収束し、 $\int f^* \,d\mu = \int f\,d\mu$ が成り立つ。 $T$ がエルゴード的であれば、ほとんど至る所で $f^* = \int f\,d\mu$ である。

なぜ正しいのか?

一つの軌道を非常に長い時間観測し、その道中で見たものを平均すると、システムが軌道の混ざり合えない断片に分解しない限り、ほとんど常にある一瞬に空間全体で平均をとったものと同じ答えが得られる。システムがエルゴード的であれば、平均的には過ごした時間は探索された空間に等しい。

証明の概略

標準的な証明では最大エルゴード定理を用いる： $f \in L^1$ に対し $Mf = \sup_{n \ge 1} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^k$ とおくと、望遠鏡和／最大関数の議論により $\int_{\{Mf > 0\}} f\, d\mu \ge 0$ が示される。これを、時間平均の $\limsup$ が $a$ を超え $\liminf$ が $b$ を下回る $T$ -不変集合上で有理数 $a > b$ に対する $f - a$ と $b - f$ に適用すると、この集合の測度がゼロであることが示され、ほとんど至る所である極限関数 $f^*$ への収束が強制される。 $f^*$ の不変性は、 $T$ による平行移動が極限において時間平均を変えないことから従い、積分の一致は切断による議論に沿った優収束定理から従う。

この定理を使うトピック

エルゴード理論

参考文献

Peter Walters (1982). An Introduction to Ergodic Theory