強大数の法則

一般性を失うことなく $\mu = 0$ と仮定する。$Y_n = X_n \mathbf{1}_{\{|X_n| \le n\}}$ と置いて打ち切る。$\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(|X_n| > n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(|X_1| > n) \le \mathbb{E}[|X_1|] < \infty$ であるから、ボレル・カンテリの補題より $\mathbb{P}(X_n \ne Y_n \text{ i.o.}) = 0$ となる。フビニの定理から $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{Var}(Y_n)}{n^2} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathbb{E}[Y_n^2]}{n^2} \le 2\mathbb{E}[|X_1|] < \infty$ が得られる。コルモゴロフの収束判定法（コルモゴロフの最大値不等式から導かれる）により、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{Y_n - \mathbb{E}[Y_n]}{n}$ は概収束する。クロネッカーの補題より $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Y_i - \mathbb{E}[Y_i]) \to 0$ が概収束の意味で成り立ち、$\mathbb{E}[Y_n] \to \mu = 0$ であるから $\bar{X}_n \to 0$（概収束）が従う。