伊藤の補題によるブラック・ショールズ方程式

$V(S_t,t)$ に伊藤の補題を適用し、$V$ を確率過程 $S_t$ と時間の滑らかな関数とみなす。補題は $dV = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \mu S_t \dfrac{\partial V}{\partial S} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S_t \dfrac{\partial V}{\partial S}\,dW_t$ であることを示す。通常の微積分とは異なり、ブラウン運動の非ゼロの二次変分から来る追加項 $\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \partial^2 V/\partial S^2$ が現れる。

次に、ヘッジされたポートフォリオ $\Pi = V - \Delta S_t$ を組む。デリバティブを1つ保有し、株式を $\Delta$ 株空売りし、$\Delta$ を $\partial V/\partial S$ に選ぶ。その変化は $d\Pi = dV - \Delta\,dS_t$ である。$dV$ の式と $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$ を代入し、$\Delta = \partial V/\partial S$ を選ぶと、ランダム項 $\sigma S_t \partial V/\partial S\,dW_t$ と $-\Delta \sigma S_t\,dW_t$ はちょうど打ち消し合う。

残るのは $d\Pi = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt$ であり、瞬間 $dt$ にわたる純粋に決定論的な（リスクフリーな）変化であって、株式のドリフト $\mu$ にはもはや依存しない。

リスクフリーなポートフォリオは無リスク金利をちょうど稼がなければならない。さもなければそれを担保に借入・貸出をすることで裁定機会が生まれてしまう。したがって $d\Pi = r\Pi\,dt = r(V - S_t\,\partial V/\partial S)\,dt$ である。$d\Pi$ の2つの式を等しいと置いて $dt$ で割ると $\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2} = rV - rS\dfrac{\partial V}{\partial S}$ となり、これを整理するとブラック・ショールズ方程式が得られる。