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数理ファイナンス 確率論と確率解析をオプションの価格付けや金融リスク管理に応用する分野。
直観 タダ飯はない：将来の約束の価格はどう決まるか 誰かがあなたに、来年、株式を今日の価格で買う権利（義務ではない）を提供するとしよう。その権利はいくらであるべきか。単なる推測はできない。もし価格が低すぎれば、誰でもほぼ無料でこの権利を買い、待って、株価が上がれば確実な利益を懐に入れられてしまう——実際の市場が存続を許さないタダ飯である。数理ファイナンスは、この無裁定 （何もないところからのリスクフリー利益は存在しない）というただ一つの考えを、あらゆる金融契約を価格付けする精密な機構へと変える。
n n n B i n ( n , p ) \mathrm{Bin}(n, p) Bin ( n , p ) n → ∞ n \to \infty n → ∞ こうした契約の最も単純な例がオプション である。ヨーロピアン・コールオプションは、保有者に固定された行使価格 K K K 満期日 T T T T T T K K K S T S_T S T
大学 損益、複製、そして現在の価格 定義: ヨーロピアン・コールとプットの損益
満期 T T T max ( S T − K , 0 ) \max(S_T - K, 0) max ( S T − K , 0 ) max ( K − S T , 0 ) \max(K - S_T, 0) max ( K − S T , 0 ) K K K T T T C C C P P P
C T = max ( S T − K , 0 ) , P T = max ( K − S T , 0 ) C_T = \max(S_T - K, 0), \qquad P_T = \max(K - S_T, 0) C T = max ( S T − K , 0 ) , P T = max ( K − S T , 0 ) これらは満期時の損益であるが、難しい問題は S T S_T S T 今日 、C C C P P P 複製 である：株式と無リスク債券からなるポートフォリオを、あらゆる起こり得るシナリオで満期 T T T
1ステップから無限ステップへ：同じコールオプションに対する3つの価格付けモデル モデル 時間の離散化 原資産価格のダイナミクス コール価格 1ステップ二項木 長さ T − t T - t T − t S S S S u Su S u S d Sd S d C = p C u + ( 1 − p ) C d 1 + r C = \dfrac{p\,C_u + (1-p)\,C_d}{1+r} C = 1 + r p C u + ( 1 − p ) C d n n n 長さ T / n T/n T / n n n n 上げ下げが再結合する格子 各ノードで後ろ向き帰納法；n → ∞ n \to \infty n → ∞ ブラック・ショールズ（連続時間） 連続時間 幾何ブラウン運動 d S t = μ S t d t + σ S t d W t dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t d S t = μ S t d t + σ S t d W t C = S Φ ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) Φ ( d 2 ) C = S\Phi(d_1) - Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2) C = S Φ ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) Φ ( d 2 )
C = S Φ ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) Φ ( d 2 ) , d 1 , 2 = ln ( S / K ) + ( r ± σ 2 2 ) ( T − t ) σ T − t C = S\,\Phi(d_1) - Ke^{-r(T-t)}\,\Phi(d_2), \qquad d_{1,2} = \frac{\ln(S/K) + \left(r \pm \frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} C = S Φ ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) Φ ( d 2 ) , d 1 , 2 = σ T − t ln ( S / K ) + ( r ± 2 σ 2 ) ( T − t ) 大学 2つの定理：厳密な関係式と価格付け方程式 同一の無配当株に対する同一の行使価格 K K K T T T r r r C − P = S − K e − r ( T − t ) C - P = S - K e^{-r(T-t)} C − P = S − K e − r ( T − t ) S S S t ≤ T t \le T t ≤ T
なぜ正しいのか? 満期までに K K K T T T max ( S T , K ) \max(S_T, K) max ( S T , K )
証明 今日、時刻 t t t T T T K K K K e − r ( T − t ) Ke^{-r(T-t)} K e − r ( T − t )
満期 T T T S T ≥ K S_T \ge K S T ≥ K S T − K S_T - K S T − K K K K ( S T − K ) + K = S T (S_T - K) + K = S_T ( S T − K ) + K = S T S T S_T S T 0 + S T = S T 0 + S_T = S_T 0 + S T = S T
S T < K S_T < K S T < K K K K 0 + K = K 0 + K = K 0 + K = K K − S T K - S_T K − S T S T S_T S T ( K − S T ) + S T = K (K - S_T) + S_T = K ( K − S T ) + S T = K K K K
したがって、あらゆる起こり得る結果においてポートフォリオAとBは時刻 T T T t t t T T T t t t C + K e − r ( T − t ) = P + S C + Ke^{-r(T-t)} = P + S C + K e − r ( T − t ) = P + S C − P = S − K e − r ( T − t ) C - P = S - Ke^{-r(T-t)} C − P = S − K e − r ( T − t )
株価が幾何ブラウン運動 d S t = μ S t d t + σ S t d W t dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t d S t = μ S t d t + σ S t d W t V ( S , t ) V(S,t) V ( S , t ) S T S_T S T V V V ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 \dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\dfrac{\partial V}{\partial S} - rV = 0 ∂ t ∂ V + 2 1 σ 2 S 2 ∂ S 2 ∂ 2 V + r S ∂ S ∂ V − r V = 0
なぜ正しいのか? 通常の微積分では V ( S t , t ) V(S_t,t) V ( S t , t ) ∂ V / ∂ t \partial V/\partial t ∂ V / ∂ t ∂ V / ∂ S \partial V/\partial S ∂ V / ∂ S S t S_t S t ∂ 2 V / ∂ S 2 \partial^2 V/\partial S^2 ∂ 2 V / ∂ S 2 V V V r r r
証明 V ( S t , t ) V(S_t,t) V ( S t , t ) V V V S t S_t S t d V = ( ∂ V ∂ t + μ S t ∂ V ∂ S + 1 2 σ 2 S t 2 ∂ 2 V ∂ S 2 ) d t + σ S t ∂ V ∂ S d W t dV = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \mu S_t \dfrac{\partial V}{\partial S} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S_t \dfrac{\partial V}{\partial S}\,dW_t d V = ( ∂ t ∂ V + μ S t ∂ S ∂ V + 2 1 σ 2 S t 2 ∂ S 2 ∂ 2 V ) d t + σ S t ∂ S ∂ V d W t 1 2 σ 2 S t 2 ∂ 2 V / ∂ S 2 \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \partial^2 V/\partial S^2 2 1 σ 2 S t 2 ∂ 2 V / ∂ S 2
次に、ヘッジされたポートフォリオ Π = V − Δ S t \Pi = V - \Delta S_t Π = V − Δ S t Δ \Delta Δ Δ \Delta Δ ∂ V / ∂ S \partial V/\partial S ∂ V / ∂ S d Π = d V − Δ d S t d\Pi = dV - \Delta\,dS_t d Π = d V − Δ d S t d V dV d V d S t = μ S t d t + σ S t d W t dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t d S t = μ S t d t + σ S t d W t Δ = ∂ V / ∂ S \Delta = \partial V/\partial S Δ = ∂ V / ∂ S σ S t ∂ V / ∂ S d W t \sigma S_t \partial V/\partial S\,dW_t σ S t ∂ V / ∂ S d W t − Δ σ S t d W t -\Delta \sigma S_t\,dW_t − Δ σ S t d W t
残るのは d Π = ( ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S t 2 ∂ 2 V ∂ S 2 ) d t d\Pi = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt d Π = ( ∂ t ∂ V + 2 1 σ 2 S t 2 ∂ S 2 ∂ 2 V ) d t d t dt d t μ \mu μ
リスクフリーなポートフォリオは無リスク金利をちょうど稼がなければならない。さもなければそれを担保に借入・貸出をすることで裁定機会が生まれてしまう。したがって d Π = r Π d t = r ( V − S t ∂ V / ∂ S ) d t d\Pi = r\Pi\,dt = r(V - S_t\,\partial V/\partial S)\,dt d Π = r Π d t = r ( V − S t ∂ V / ∂ S ) d t d Π d\Pi d Π d t dt d t ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 = r V − r S ∂ V ∂ S \dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2} = rV - rS\dfrac{\partial V}{\partial S} ∂ t ∂ V + 2 1 σ 2 S 2 ∂ S 2 ∂ 2 V = r V − r S ∂ S ∂ V
発展 実世界での応用と具体例 銀行はこれらの考え方を毎日使ってオプションのポートフォリオを価格付けし、ヘッジしている。保険会社は生命保険や年金商品に組み込まれた保証を評価するために使い、企業の財務担当者は為替や金利の変動に対する防御にいくら払うべきかを決めるために使う。二項木は手計算や早期行使機能を持つオプションのための主力手法であり、ブラック・ショールズ公式は素早い閉形式の見積もりのための主力手法である。
例: 1ステップ二項木によるコールの価格付け
ある株式は今日 S 0 = 100 S_0 = 100 S 0 = 100 S u = 110 S_u = 110 S u = 110 S d = 90 S_d = 90 S d = 90 r = 0.05 r = 0.05 r = 0.05 K = 100 K = 100 K = 100
解答 まず上昇の危険中立確率 p p p S 0 = p S u + ( 1 − p ) S d 1 + r S_0 = \dfrac{p\,S_u + (1-p)\,S_d}{1+r} S 0 = 1 + r p S u + ( 1 − p ) S d p = ( 1 + r ) S 0 − S d S u − S d = 1.05 × 100 − 90 110 − 90 = 15 20 = 0.75 p = \dfrac{(1+r)S_0 - S_d}{S_u - S_d} = \dfrac{1.05\times 100 - 90}{110 - 90} = \dfrac{15}{20} = 0.75 p = S u − S d ( 1 + r ) S 0 − S d = 110 − 90 1.05 × 100 − 90 = 20 15 = 0.75
次に各分岐でのコールの損益を計算する：株が上昇すれば C u = max ( 110 − 100 , 0 ) = 10 C_u = \max(110 - 100, 0) = 10 C u = max ( 110 − 100 , 0 ) = 10 C d = max ( 90 − 100 , 0 ) = 0 C_d = \max(90 - 100, 0) = 0 C d = max ( 90 − 100 , 0 ) = 0
最後に危険中立期待損益を無リスク金利で割り引く：C 0 = p C u + ( 1 − p ) C d 1 + r = 0.75 × 10 + 0.25 × 0 1.05 = 7.5 1.05 ≈ 7.14 C_0 = \dfrac{p\,C_u + (1-p)\,C_d}{1+r} = \dfrac{0.75\times 10 + 0.25\times 0}{1.05} = \dfrac{7.5}{1.05} \approx 7.14 C 0 = 1 + r p C u + ( 1 − p ) C d = 1.05 0.75 × 10 + 0.25 × 0 = 1.05 7.5 ≈ 7.14
したがってコールは今日約 7.14 7.14 7.14 p p p r r r
例: プット・コール・パリティで欠けている価格を求める
ある株式は S = 50 S = 50 S = 50 K = 48 K = 48 K = 48 T = 0.5 T = 0.5 T = 0.5 C = 6.5 C = 6.5 C = 6.5 r = 0.04 r = 0.04 r = 0.04 P P P
解答 プット・コール・パリティ C − P = S − K e − r ( T − t ) C - P = S - Ke^{-r(T-t)} C − P = S − K e − r ( T − t ) P P P P = C − S + K e − r ( T − t ) P = C - S + Ke^{-r(T-t)} P = C − S + K e − r ( T − t )
まず割引係数を計算する：K e − r T = 48 × e − 0.04 × 0.5 = 48 × e − 0.02 ≈ 48 × 0.9802 ≈ 47.05 Ke^{-rT} = 48 \times e^{-0.04\times 0.5} = 48 \times e^{-0.02} \approx 48 \times 0.9802 \approx 47.05 K e − r T = 48 × e − 0.04 × 0.5 = 48 × e − 0.02 ≈ 48 × 0.9802 ≈ 47.05
数値を代入する：P ≈ 6.5 − 50 + 47.05 = 3.55 P \approx 6.5 - 50 + 47.05 = 3.55 P ≈ 6.5 − 50 + 47.05 = 3.55
したがってプットは約 3.55 3.55 3.55 C C C S S S r r r
よくある誤り. よくある誤りは、強く上昇すると予想される株式は、他の条件が同じならより高いコールオプション価格を持つはずだと考えることである。危険中立価格付けの下では、実際の期待リターン μ \mu μ C = S Φ ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) Φ ( d 2 ) C = S\Phi(d_1) - Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2) C = S Φ ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) Φ ( d 2 ) C 0 = ( p C u + ( 1 − p ) C d ) / ( 1 + r ) C_0 = (p\,C_u + (1-p)\,C_d)/(1+r) C 0 = ( p C u + ( 1 − p ) C d ) / ( 1 + r ) r r r σ \sigma σ S S S 歴史的ノート
1951年、伊藤清はブラウン運動の滑らかな関数を厳密に微分するために必要な確率解析——現在彼の名を冠する補題を含む——を発表した。その20年後、フィッシャー・ブラック、マイロン・ショールズ、ロバート・マートンはまさにこの道具を無裁定複製の議論と組み合わせ、1973年にオプション価格付け公式を発表した。この業績は1997年のノーベル経済学賞で評価された。
伊藤清
研究の最前線 2026年時点
2026年現在、数理ファイナンスの研究は元のブラック・ショールズモデルの一定ボラティリティの世界をはるかに超えて進んでいる。ラフ・ボラティリティ・モデル （2018年前後にGatheral、Jaisson、Rosenbaumが発展させた、実現ボラティリティは滑らかというよりも非常にラフな——ヘルダー正則性の低い——確率過程のように振る舞うという観測に基づく）は、シミュレーションが難しい力学を代償に、古典的な確率的ボラティリティモデルよりもオプション価格曲面にはるかによく適合するようになった。ディープヘッジング などの機械学習手法は、閉形式の公式が存在しない取引コストや他の摩擦のある市場でデリバティブをヘッジ・価格付けするために、シミュレーションまたは過去のパス上でニューラルネットワークを直接訓練し、解析的な偏微分方程式アプローチをデータ駆動で学習したヘッジ戦略に置き換える。第三の活発な方向性はモデルフリーでロバストな金融 である：他のオプションの観測された市場価格と、原資産過程についての最小限の仮定だけを用いてオプション価格を挟み込み、幾何ブラウン運動のような特定のモデルを信頼することに結論が依存しないようにする。未解決の問題には、ラフ・ボラティリティ・モデルを効率的に較正する方法、学習されたヘッジ戦略に厳密な保証を与える方法、追加の仮定なしにモデルフリーの上下限をどこまで狭められるかが含まれる。
S = 100 S = 100 S = 100 K = 100 K = 100 K = 100 r = 0.05 r = 0.05 r = 0.05 T − t = 1 T - t = 1 T − t = 1 C = 10 C = 10 C = 10 P P P e − 0.05 ≈ 0.9512 e^{-0.05} \approx 0.9512 e − 0.05 ≈ 0.9512
5.12 5.12 5.12 10.00 10.00 10.00 14.88 14.88 14.88 − 5.12 -5.12 − 5.12 上昇率 u = 1.2 u = 1.2 u = 1.2 d = 0.8 d = 0.8 d = 0.8 r = 0.1 r = 0.1 r = 0.1 p p p
0.5 0.5 0.5 0.75 0.75 0.75 0.3 0.3 0.3 1.0 1.0 1.0 ブラック・ショールズモデルの下で、株式の真の（実際の）期待リターン μ \mu μ σ \sigma σ
上昇する 下落する 全く変わらない 負になる
次のうち、古典的なブラック・ショールズモデルの仮定ではない ものはどれか。
裁定機会が存在しない 無リスク金利は一定である オプションは満期前のいつでも行使できる 市場は摩擦がなく、取引コストがない