ヘンゼルの補題

$\alpha$ を逐次近似 $a = a_0, a_1, a_2, \dots \in \mathbb{Z}_p$ の極限として、$a_{n+1} = a_n - f(a_n)/f'(a_n)$ により構成する。帰納法により $v_p(f(a_n)) \ge n+1$ かつ $v_p(f'(a_n)) = v_p(f'(a)) = 0$ が全ての $n$ で成り立つことを示す（各段階で $a_{n+1} \equiv a_n \pmod p$ なので導関数は単元のままであり、常に $f'(a_n) \equiv f'(a) \not\equiv 0 \pmod p$ である）。すると $v_p(a_{n+1}-a_n) = v_p(f(a_n)) - v_p(f'(a_n)) \ge n+1$ となるので $(a_n)$ は $p$進距離でコーシー列であり、$\mathbb{Z}_p$ の完備性によりある $\alpha \equiv a \pmod p$ に収束し、$f$ の連続性から $f(\alpha) = \lim f(a_n) = 0$ が従う。一意性：$\beta \ne \alpha$ が $\beta \equiv a \pmod p$ を満たす別の根であったとすると、平均値定理／テイラー展開 $f(\beta) - f(\alpha) = (\beta-\alpha)(f'(\alpha) + p(\cdots))$ において $f'(\alpha)$ が単元であることから $\beta = \alpha$ が強制される。