2次元ブラウワーの不動点定理

ステップ1 — $f$ が不動点を持たないと仮定して矛盾を導く。このとき $f(x) \ne x$ がすべての $x \in D^2$ で成り立つので、$f(x)$ を通り $x$ を通る半直線がwell-definedである。この半直線が円板を出る点を $r(x) \in S^1 = \partial D^2$ とする。$f(x) \ne x$ が連続に変化し決して消えないので、$r: D^2 \to S^1$ は連続である。

ステップ2 — $r$ はレトラクションである。すでに境界上にある $x \in S^1$ については、$f(x)$ を通り $x$ を通る半直線はちょうど $x$ 自身で出る($x$ はすでに境界上にあり、半直線は内部から外へ向かって境界を一度しか横切らないため)ので、すべての $x \in S^1$ について $r(x) = x$ となる。よって $r: D^2 \to S^1$ はレトラクションである:部分空間 $S^1$ を各点で固定する連続写像である。

ステップ3 — レトラクションは不可能である:関手 $\pi_1$ を適用する。$i: S^1 \hookrightarrow D^2$ を包含写像とする。$r \circ i = \mathrm{id}_{S^1}$(レトラクションの定義による)なので、基本群関手を適用すると、群のレベルで $\pi_1(r) \circ \pi_1(i) = \pi_1(\mathrm{id}_{S^1}) = \mathrm{id}_{\pi_1(S^1)}$ が得られる(関手性:$\pi_1$ は連続写像の合成を準同型の合成に変える)。しかし $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ である一方 $\pi_1(D^2)$ は自明である(凸な円板内のすべてのループは直線ホモトピーで縮む)ので、$\pi_1(i): \mathbb{Z} \to \{e\}$ と $\pi_1(r): \{e\} \to \mathbb{Z}$ の合成はゼロ写像となり、これは $\mathbb{Z}$(非自明な群)上の恒等写像と等しくなりえない——矛盾である。

ステップ4 — 結論。ステップ3の矛盾は、そのようなレトラクション $r$ が存在しえないことを示すので、ステップ1の仮定($f$ が不動点を持たない)は偽でなければならない。よってすべての連続な $f: D^2 \to D^2$ は不動点を持つ。