基本群

これは幾何学的で捉えにくい問い(「円周上に本質的に異なるループはいくつあるか?」)を通常の整数演算に変換するものであり、代数的位相幾何学のあらゆる巻き数の議論がたどり着く唯一の計算である。

ステップ1 — 被覆写像を設定する。$p: \mathbb{R} \to S^1$ を $p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$ とする。これは連続な全射であり、$S^1$ の各点は均等被覆近傍を持つ($p$ による小さな弧の原像は $\mathbb{R}$ 内の互いに素な開区間の和集合であり、各区間はその弧に同相に写る)。基点を $1 = p(0) \in S^1$ に固定する。

ステップ2 — 道の持ち上げ。$\gamma(0)=\gamma(1)=1$ を満たす任意のループ $\gamma: [0,1] \to S^1$ に対し、$p \circ \tilde\gamma = \gamma$ かつ $\tilde\gamma(0) = 0$ を満たす連続な持ち上げ $\tilde\gamma: [0,1] \to \mathbb{R}$ が一意に存在する($[0,1]$ を、$\gamma$ が1つの均等被覆近傍に収まる有限個の小区間で覆い、一片ずつ持ち上げ、その都度直前の終点から続く $p^{-1}$ の枝を選ぶことで構成する)。$\deg(\gamma) = \tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$ と定義する($p(\tilde\gamma(1)) = \gamma(1) = 1 = p(0)$ より $\tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$ が強制されるので整数である)。

ステップ3 — ホモトピー不変性。$\gamma \simeq_p \gamma'$ がホモトピー $H$ によるとき、ホモトピー持ち上げ性質(道の持ち上げと同じ方法、一帯ずつで証明される)により、$\tilde H(s,0)=\tilde\gamma(s)$ を満たす連続な持ち上げ $\tilde H$ が得られ、$\tilde H(0,t)=0$ がすべての $t$ で成り立つ(定数基点ループを持ち上げているので定数)。すると $t \mapsto \tilde H(1,t)$ は $t$ の連続な整数値関数であり(ステップ2と同じ議論により)、したがって定数である。よって $\deg(\gamma) = \tilde H(1,0) = \tilde H(1,1) = \deg(\gamma')$。したがって $\deg$ はホモトピー類 $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$ の上でwell-definedである。

ステップ4 — 準同型性。ループ $\gamma, \delta$ に対し、$\gamma * \delta$ の持ち上げを、まず $\gamma$ を $\deg(\gamma)$ で終わるように持ち上げ、続けて $\delta$ を $\deg(\gamma)$ から始まるように持ち上げる($\delta$ の持ち上げの平行移動であり、$p$ が整数平行移動で不変なので妥当)ことで、$\deg(\gamma * \delta) = \deg(\gamma) + \deg(\delta)$ が示される。よって $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$ は群準同型 $\pi_1(S^1,1) \to \mathbb{Z}$ である。

ステップ5 — 全単射性。全射性:任意の $n \in \mathbb{Z}$ について $\gamma_n(s) = p(ns)$ は $\deg(\gamma_n)=n$ を満たすループである。単射性:$\deg(\gamma)=0$ ならば、持ち上げ $\tilde\gamma$ は $0$ を基点とする $\mathbb{R}$ 内のループである($\tilde\gamma(1)=0=\tilde\gamma(0)$ なので)。$\mathbb{R}$ は凸なので直線ホモトピー $\tilde H(s,t) = (1-t)\tilde\gamma(s)$ は端点を固定したまま $\tilde\gamma$ を $0$ での定数道に縮め、$p$ と合成すると $\gamma$ から定数ループへの道ホモトピーが得られるので、$[\gamma]$ は自明である。したがって $\deg$ は全単射準同型、すなわち同型 $\pi_1(S^1,1) \cong \mathbb{Z}$ である。

これは $D^2$ の形だけから、$f$ の式を一切必要とせずに、驚くほど広い範囲の状況(ナッシュ均衡、微分方程式、経済均衡)で解を保証する——そしてこの証明は、難しい解析の問いを $\pi_1$ に関する易しい代数の問いに翻訳する美しい例である。

ステップ1 — $f$ が不動点を持たないと仮定して矛盾を導く。このとき $f(x) \ne x$ がすべての $x \in D^2$ で成り立つので、$f(x)$ を通り $x$ を通る半直線がwell-definedである。この半直線が円板を出る点を $r(x) \in S^1 = \partial D^2$ とする。$f(x) \ne x$ が連続に変化し決して消えないので、$r: D^2 \to S^1$ は連続である。

ステップ2 — $r$ はレトラクションである。すでに境界上にある $x \in S^1$ については、$f(x)$ を通り $x$ を通る半直線はちょうど $x$ 自身で出る($x$ はすでに境界上にあり、半直線は内部から外へ向かって境界を一度しか横切らないため)ので、すべての $x \in S^1$ について $r(x) = x$ となる。よって $r: D^2 \to S^1$ はレトラクションである:部分空間 $S^1$ を各点で固定する連続写像である。

ステップ3 — レトラクションは不可能である:関手 $\pi_1$ を適用する。$i: S^1 \hookrightarrow D^2$ を包含写像とする。$r \circ i = \mathrm{id}_{S^1}$(レトラクションの定義による)なので、基本群関手を適用すると、群のレベルで $\pi_1(r) \circ \pi_1(i) = \pi_1(\mathrm{id}_{S^1}) = \mathrm{id}_{\pi_1(S^1)}$ が得られる(関手性:$\pi_1$ は連続写像の合成を準同型の合成に変える)。しかし $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ である一方 $\pi_1(D^2)$ は自明である(凸な円板内のすべてのループは直線ホモトピーで縮む)ので、$\pi_1(i): \mathbb{Z} \to \{e\}$ と $\pi_1(r): \{e\} \to \mathbb{Z}$ の合成はゼロ写像となり、これは $\mathbb{Z}$(非自明な群)上の恒等写像と等しくなりえない——矛盾である。

ステップ4 — 結論。ステップ3の矛盾は、そのようなレトラクション $r$ が存在しえないことを示すので、ステップ1の仮定($f$ が不動点を持たない)は偽でなければならない。よってすべての連続な $f: D^2 \to D^2$ は不動点を持つ。

これはこの分野の主要な計算道具である:重なり合う(しばしばはるかに単純な)部分の基本群から、複雑な空間の基本群を構成できるようにする。これはまさに8の字空間の自由群 $F_2$ が計算される方法である(1点で重なる2つの円)。

完全な証明には注意深い組合せ的な記録が必要である。ここでは構造的な概略を示す。ステップ1 — 生成元。基点 $x_0$ を持つ $X$ の任意のループ $\gamma$ は、有限個の部分道に分割でき、それぞれが完全に $U$ 内、または完全に $V$ 内にある(コンパクト区間 $[0,1]$ の開被覆 $\{\gamma^{-1}(U), \gamma^{-1}(V)\}$ に対するルベーグ数の議論を用いる)。よって $[\gamma]$ は、$\pi_1(U,x_0)$ または $\pi_1(V,x_0)$ の元を表すループの積として書ける(部分道の端点を、弧状連結な $U \cap V$ 内で選んだ道を通じて $x_0$ に戻す接続を行った後)。これにより $\pi_1(X,x_0)$ が $\pi_1(U,x_0)$ と $\pi_1(V,x_0)$ の像によって生成されることが示される。

ステップ2 — 関係式。$U \cap V$ 内にあるループ $\delta$ は、先験的には2つの異なりうる元を表す:$i_U(\delta) \in \pi_1(U,x_0)$($\delta$ を $U$ 内のループとみなす)と $i_V(\delta) \in \pi_1(V,x_0)$($V$ 内のループとみなす)である。$\delta$ は $X$ において文字通り同じループなので、$\pi_1(U) \to \pi_1(X)$ と $\pi_1(V) \to \pi_1(X)$ による像は一致しなければならない。これがまさに、すべての $[\delta] \in \pi_1(U \cap V, x_0)$ について融合関係式 $i_U(\delta) = i_V(\delta)$ を強制する。

ステップ3 — それ以上の関係式はない。より繊細な議論(ホモトピー $H: [0,1]\times[0,1] \to X$ を同じ方法で分割し、正方形のコンパクト性を用いて各セルが $U$ または $V$ に収まる有限格子を得る)により、これらの融合関係式が必要な唯一の関係式であることが示される:生成元の言葉で $\pi_1(X,x_0)$ の同じ元を表す任意の2つの語は、それぞれ融合関係式によって正当化される有限回の操作の列で関係づけられる。これにより $\pi_1(X,x_0)$ は融合自由積とちょうど一致することが確認される。