実数の非可算性(カントールの対角線論法)

背理法により、$x_1,x_2,\dots$ が $(0,1)$ のすべての実数を小数展開として列挙していると仮定する。$y=0.y_1y_2y_3\dots$ を、$y_n$ が第 $n$ 桁で $x_n$ と異なるように選んで定める(例えば $y_n=5$(その桁が $5$ でない場合)、そうでなければ $y_n=6$ とし、$\dots999\dots=\dots000\dots$ の曖昧さを避ける)。すると $y\in(0,1)$ であるが、$y\neq x_n$ がすべての $n$ について成り立つ(第 $n$ 桁で異なるため)ため、列挙が完全であるという仮定に矛盾する。