ケイリーの定理

ステップ 1 — 各群の元に置換を対応させる。 各 $g \in G$ に対し、左移動写像 $\lambda_g : G \to G,\; x \mapsto g * x$ を定義する。$\lambda_{g^{-1}}$ がその両側逆写像となるため $\lambda_g$ は $G$ 上の全単射であり、$\lambda_g \in \mathrm{Sym}(G)$ である。

**ステップ 2 — $\Lambda : G \to \mathrm{Sym}(G),\; g \mapsto \lambda_g$ が単射準同型であることを確かめる。** 結合律より、すべての $x \in G$ に対して $\lambda_{g * h}(x) = (g * h) * x = g * (h * x) = (\lambda_g \circ \lambda_h)(x)$ が成り立つので $\Lambda(g * h) = \Lambda(g) \circ \Lambda(h)$ である。もし $\Lambda(g) = \mathrm{id}$ ならば、単位元での値を評価して $\lambda_g(e) = g * e = g = e$ となり、$\ker(\Lambda) = \{e\}$ が従う。よって $G$ はその像 $\Lambda(G) \le \mathrm{Sym}(G)$ に同型である。