← 戻る ライブラリ › 代数学 › 抽象代数学 代数学
群論 対称性を捉える代数構造:一つの演算といくつかの公理から、立方体の回転から5次方程式が冪根で解けないことに至るまで、一つのアイデアが貫いている。
直観 対称性とは何か? 正方形の紙を見てみよう。90°、180°、270°回転させても、あるいは何もしなくても、形はまったく同じに見える。裏返す方法も4通りある。これら8通りの操作はいずれも正方形の対称 であり、形を変えない操作だ。ある対称の後に別の対称を続けて行っても、結果はやはり8通りの操作のどれかになる——90°回転してから裏返しても、結果はやはりその中の一つだ。
立方体を自分自身に写す回転。恒等変換を含めて全部で24通りあり、これは立方体の4本の対角線を並べ替える方法の数と一致する。 この構造——ある操作の集まり、それらを組み合わせる一つの方法(続けて行う)、何もしない操作、そしてすべての操作に「取り消し」があること——は数学のいたるところに現れる。図形の対称、トランプのシャッフル、0でない有理数の掛け算、正則行列の行列積。群論 はまさにこの構造を、それぞれの例を特殊にしている部分を取り除いて研究する分野だ。
中高 時計の算術:目の前に隠れている群 時計には12時間ある。10時に5時間足すと3時になる。10 + 5 = 15 10 + 5 = 15 10 + 5 = 15 15 15 15 3 3 3 { 0 , 1 , … , 11 } \{0, 1, \dots, 11\} { 0 , 1 , … , 11 } ( Z / 12 Z , + ) (\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, +) ( Z /12 Z , + )
大学 形式的な定義 定義: 群
群 とは、集合 G G G ∗ : G × G → G *: G \times G \to G ∗ : G × G → G a , b , c ∈ G a,b,c \in G a , b , c ∈ G ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) (a*b)*c = a*(b*c) ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) a a a e ∗ a = a ∗ e = a e*a = a*e = a e ∗ a = a ∗ e = a e ∈ G e \in G e ∈ G a ∈ G a \in G a ∈ G a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e a*a^{-1} = a^{-1}*a = e a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e a − 1 ∈ G a^{-1} \in G a − 1 ∈ G a , b a, b a , b a ∗ b = b ∗ a a*b = b*a a ∗ b = b ∗ a 可換群(アーベル群) と呼ばれる。
( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) , e ∗ a = a ∗ e = a , a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e (a * b) * c = a * (b * c), \qquad e * a = a * e = a, \qquad a * a^{-1} = a^{-1} * a = e ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) , e ∗ a = a ∗ e = a , a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e 例:( Z , + ) (\mathbb{Z}, +) ( Z , + ) ( Q , + ) (\mathbb{Q}, +) ( Q , + ) ( Z , × ) (\mathbb{Z}, \times) ( Z , × ) ない ——ほとんどの整数は Z \mathbb{Z} Z ( R ∖ { 0 } , × ) (\mathbb{R} \setminus \{0\}, \times) ( R ∖ { 0 } , × ) n × n n \times n n × n G L n ( R ) \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) GL n ( R ) n ≥ 2 n \ge 2 n ≥ 2
大学 部分群、生成元、ケイリーグラフ 定義: 部分群
部分集合 H ⊆ G H \subseteq G H ⊆ G e e e ∗ * ∗ 部分群 という。このとき H H H G G G 生成系 とは、G G G S S S S ⊆ G S \subseteq G S ⊆ G 巡回群 という。
ケイリーグラフ は生成系を絵に変える:G G G s s s g g g g ∗ s g*s g ∗ s ( Z / 2 Z ) 3 (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 ( Z /2 Z ) 3
立方体グラフ Q 3 Q_3 Q 3 ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) ( 0 , 1 , 0 ) ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) ( Z / 2 Z ) 3 (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 ( Z /2 Z ) 3 大学 部分群の大きさ G G G H ≤ G H \le G H ≤ G ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣
なぜ正しいのか? 左剰余類 g H = { g h : h ∈ H } gH = \{gh : h \in H\} g H = { g h : h ∈ H } G G G ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ h ↦ g h h \mapsto gh h ↦ g h H → g H H \to gH H → g H ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣
証明 **ステップ 1 — 同値関係により G G G G G G a ∼ b ⟺ a − 1 b ∈ H a \sim b \iff a^{-1}b \in H a ∼ b ⟺ a − 1 b ∈ H H H H a − 1 a = e ∈ H a^{-1}a = e \in H a − 1 a = e ∈ H ( a − 1 b ) − 1 = b − 1 a ∈ H (a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H ( a − 1 b ) − 1 = b − 1 a ∈ H ( a − 1 b ) ( b − 1 c ) = a − 1 c ∈ H (a^{-1}b)(b^{-1}c) = a^{-1}c \in H ( a − 1 b ) ( b − 1 c ) = a − 1 c ∈ H a a a a H = { a h : h ∈ H } aH = \{ah : h \in H\} a H = { ah : h ∈ H } G G G [ G : H ] [G : H] [ G : H ]
**ステップ 2 — 各剰余類の位数が ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ a ∈ G a \in G a ∈ G ϕ a : H → a H , h ↦ a h \phi_a : H \to aH,\; h \mapsto ah ϕ a : H → a H , h ↦ ah a − 1 a^{-1} a − 1 a h 1 = a h 2 ⟹ h 1 = h 2 ah_1 = ah_2 \implies h_1 = h_2 a h 1 = a h 2 ⟹ h 1 = h 2 ∣ a H ∣ = ∣ H ∣ |aH| = |H| ∣ a H ∣ = ∣ H ∣ [ G : H ] [G : H] [ G : H ] ∣ G ∣ = [ G : H ] ∣ H ∣ |G| = [G : H]\,|H| ∣ G ∣ = [ G : H ] ∣ H ∣ ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣
g H = { g ∗ h : h ∈ H } , ∣ G ∣ = [ G : H ] ∣ H ∣ gH = \{g * h : h \in H\}, \qquad |G| = [G : H]\,|H| g H = { g ∗ h : h ∈ H } , ∣ G ∣ = [ G : H ] ∣ H ∣ ラグランジュの定理は、立方体の回転群(位数24、上で見た)が位数1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24——24の約数——の部分群しか持てず、たとえば位数5の部分群は決して持てない理由を即座に説明する。これは強い制約であり、∣ G ∣ |G| ∣ G ∣
よくある誤り. ラグランジュの定理の逆 は成り立たない:∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ A 4 A_4 A 4 発展 対称群と、方程式に公式が存在しない理由 n n n 対称群 S n S_n S n n ! n! n ! S 4 S_4 S 4 S n S_n S n
すべての群 G G G G G G S y m ( G ) \mathrm{Sym}(G) Sym ( G ) n = ∣ G ∣ n = |G| n = ∣ G ∣ S n S_n S n
なぜ正しいのか? 抽象的な群の公理は具体的な置換よりも一般に見えるかもしれないが、ケイリーの定理はそうではないことを示す。元 g g g G G G G G G
証明 ステップ 1 — 各群の元に置換を対応させる。 各 g ∈ G g \in G g ∈ G λ g : G → G , x ↦ g ∗ x \lambda_g : G \to G,\; x \mapsto g * x λ g : G → G , x ↦ g ∗ x λ g − 1 \lambda_{g^{-1}} λ g − 1 λ g \lambda_g λ g G G G λ g ∈ S y m ( G ) \lambda_g \in \mathrm{Sym}(G) λ g ∈ Sym ( G )
**ステップ 2 — Λ : G → S y m ( G ) , g ↦ λ g \Lambda : G \to \mathrm{Sym}(G),\; g \mapsto \lambda_g Λ : G → Sym ( G ) , g ↦ λ g x ∈ G x \in G x ∈ G λ g ∗ h ( x ) = ( g ∗ h ) ∗ x = g ∗ ( h ∗ x ) = ( λ g ∘ λ h ) ( x ) \lambda_{g * h}(x) = (g * h) * x = g * (h * x) = (\lambda_g \circ \lambda_h)(x) λ g ∗ h ( x ) = ( g ∗ h ) ∗ x = g ∗ ( h ∗ x ) = ( λ g ∘ λ h ) ( x ) Λ ( g ∗ h ) = Λ ( g ) ∘ Λ ( h ) \Lambda(g * h) = \Lambda(g) \circ \Lambda(h) Λ ( g ∗ h ) = Λ ( g ) ∘ Λ ( h ) Λ ( g ) = i d \Lambda(g) = \mathrm{id} Λ ( g ) = id λ g ( e ) = g ∗ e = g = e \lambda_g(e) = g * e = g = e λ g ( e ) = g ∗ e = g = e ker ( Λ ) = { e } \ker(\Lambda) = \{e\} ker ( Λ ) = { e } G G G Λ ( G ) ≤ S y m ( G ) \Lambda(G) \le \mathrm{Sym}(G) Λ ( G ) ≤ Sym ( G )
2次、3次、4次方程式にはいずれも + , − , × , ÷ +, -, \times, \div + , − , × , ÷ 5次 方程式(n = 5 n = 5 n = 5 S 5 S_5 S 5 ガロア理論 はすべての多項式にその根の対称性の群を対応させ、冪根による公式が存在するのはその群が可換な部品から組み立てられる場合、すなわち群が可解 である場合に限られる。S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5
大学 実世界での応用と具体例 群論は現代の公開鍵暗号（ディフィー・ヘルマン鍵共有や楕円曲線暗号は離散対数問題が困難な素数位数 p p p D 4 D_4 D 4 S 4 S_4 S 4
例: 暗号理論：乗法群 ( Z / 11 Z ) × (\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times ( Z /11 Z ) ×
ディフィー・ヘルマン鍵共有で用いられる乗法群 ( Z / 11 Z ) × (\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times ( Z /11 Z ) × g = 2 g = 2 g = 2 3 3 3
解答 ステップ 1 — ラグランジュの定理で位数の候補を絞る。 群 ( Z / 11 Z ) × (\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times ( Z /11 Z ) × 11 11 11 { 1 , 2 , … , 10 } \{1, 2, \dots, 10\} { 1 , 2 , … , 10 } ∣ G ∣ = 10 |G| = 10 ∣ G ∣ = 10 10 10 10 1 , 2 , 5 , 10 1, 2, 5, 10 1 , 2 , 5 , 10
**ステップ 2 — g = 2 g = 2 g = 2 11 11 11 2 1 ≡ 2 2^1 \equiv 2 2 1 ≡ 2 2 2 ≡ 4 2^2 \equiv 4 2 2 ≡ 4 2 5 = 32 ≡ 10 ≡ − 1 ≢ 1 ( m o d 11 ) 2^5 = 32 \equiv 10 \equiv -1 \not\equiv 1 \pmod{11} 2 5 = 32 ≡ 10 ≡ − 1 ≡ 1 ( mod 11 ) 10 10 10 1 1 1 2 10 ≡ ( − 1 ) 2 = 1 ( m o d 11 ) 2^{10} \equiv (-1)^2 = 1 \pmod{11} 2 10 ≡ ( − 1 ) 2 = 1 ( mod 11 ) g = 2 g = 2 g = 2 10 10 10 g = 2 g = 2 g = 2 ( Z / 11 Z ) × (\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times ( Z /11 Z ) ×
**ステップ 3 — 3 3 3 11 11 11 3 3 3 3 × 4 = 12 ≡ 1 ( m o d 11 ) 3 \times 4 = 12 \equiv 1 \pmod{11} 3 × 4 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) 3 − 1 ≡ 4 ( m o d 11 ) 3^{-1} \equiv 4 \pmod{11} 3 − 1 ≡ 4 ( mod 11 )
例: 分子と図形の対称性：正方形の二面体群 D 4 D_4 D 4
90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ r r r s s s 8 8 8 D 4 = ⟨ r , s ∣ r 4 = e , s 2 = e , s r s = r − 1 ⟩ D_4 = \langle r, s \mid r^4 = e,\; s^2 = e,\; srs = r^{-1} \rangle D 4 = ⟨ r , s ∣ r 4 = e , s 2 = e , sr s = r − 1 ⟩ s r 2 s s r^2 s s r 2 s r s r r s r r sr D 4 D_4 D 4 H = ⟨ r ⟩ = { e , r , r 2 , r 3 } H = \langle r \rangle = \{e, r, r^2, r^3\} H = ⟨ r ⟩ = { e , r , r 2 , r 3 }
解答 **ステップ 1 — 関係式 s r s = r − 1 = r 3 srs = r^{-1} = r^3 sr s = r − 1 = r 3 s s s s 2 = e s^2 = e s 2 = e r s = s r 3 r s = s r^3 r s = s r 3 r s ≠ s r = r 3 s r s \neq s r = r^3 s r s = sr = r 3 s D 4 D_4 D 4 r s r = ( s r 3 ) r = s r 4 = s r s r = (s r^3) r = s r^4 = s r sr = ( s r 3 ) r = s r 4 = s s r 2 s = ( s r s ) ( s r s ) = r − 1 r − 1 = r − 2 = r 2 s r^2 s = (srs)(srs) = r^{-1} r^{-1} = r^{-2} = r^2 s r 2 s = ( sr s ) ( sr s ) = r − 1 r − 1 = r − 2 = r 2
**ステップ 2 — D 4 D_4 D 4 H = ⟨ r ⟩ = { e , r , r 2 , r 3 } H = \langle r \rangle = \{e, r, r^2, r^3\} H = ⟨ r ⟩ = { e , r , r 2 , r 3 } ∣ D 4 ∣ = 8 |D_4| = 8 ∣ D 4 ∣ = 8 ∣ H ∣ = 4 |H| = 4 ∣ H ∣ = 4 [ D 4 : H ] = 8 / 4 = 2 [D_4 : H] = 8 / 4 = 2 [ D 4 : H ] = 8/4 = 2 H = { e , r , r 2 , r 3 } H = \{e, r, r^2, r^3\} H = { e , r , r 2 , r 3 } s H = { s , s r , s r 2 , s r 3 } sH = \{s, sr, sr^2, sr^3\} sH = { s , sr , s r 2 , s r 3 }
歴史的ノート
ラグランジュ(1770年)は、まだ現代的な群の概念を持たないまま、多項式の根の置換を研究した。アーベル(1824年)は一般の5次方程式に冪根による公式が存在しないことを証明した。ガロア(1832年)は、決闘で命を落とす前夜に書いた手紙の中で、各多項式に群を対応させることで、どの方程式が冪根で解ける のかを正確に示した——これが独立した学問としての群論の誕生である。その一世紀後、エミー・ネーター(1920年代)は群・環・イデアルといった抽象構造を中心に代数学を再構築し、一つの例からではなく公理のみから純粋に推論するという、このページ全体で用いられている抽象代数学のスタイルを確立した。
ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ ニールス・ヘンリク・アーベル エヴァリスト・ガロア エミー・ネーター
次のうち、与えられた演算のもとで群ではない ものはどれか?
( Z , + ) (\mathbb{Z}, +) ( Z , + ) ( Z , × ) (\mathbb{Z}, \times) ( Z , × ) ( R ∖ { 0 } , × ) (\mathbb{R} \setminus \{0\}, \times) ( R ∖ { 0 } , × ) ( Z / 12 Z , + ) (\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, +) ( Z /12 Z , + ) 立方体を自分自身に写す回転(何もしない場合を含む)はいくつあるか?
12 24 48 6
ラグランジュの定理により、次のうち位数24の群の部分群の位数になりえない ものはどれか?
5 8 12 6
一般の5次方程式(n = 5 n = 5 n = 5 + , − , × , ÷ +, -, \times, \div + , − , × , ÷
関連する対称群 S 5 S_5 S 5 5次方程式には実数解が全く存在しないことがあるから。 5が素数だから。 S 5 S_5 S 5