伊藤の補題

テイラー展開。滑らかな $F$ について、小さなステップ $\Delta t$ と $\Delta W=W_{t+\Delta t}-W_t$ にわたる両変数の通常の2次テイラー展開は $\Delta F\approx \partial_tF\,\Delta t+\partial_xF\,\Delta W+\tfrac12\partial_x^2F\,(\Delta W)^2+\tfrac12\partial_t^2F\,(\Delta t)^2+\partial_t\partial_xF\,\Delta t\,\Delta W+\cdots$ と書ける——ここまでは純粋な微積分であり、任意の滑らかな経路に対して成り立つ。

大きさによって項を並べる。$\Delta W$ は(前の定理で示したとおり $\Delta t$ ではなく)$\sqrt{\Delta t}$ のオーダーであるため、各項は次のようにスケールする:$\partial_tF\,\Delta t$ は $\Delta t$ のオーダー;$\partial_xF\,\Delta W$ は $\sqrt{\Delta t}$ のオーダー(支配的な、主要なランダム項);$(\Delta t)^2$ と $\Delta t\,\Delta W$ はそれぞれ $(\Delta t)^2$ と $(\Delta t)^{3/2}$ のオーダーで $\Delta t$ に比べて無視できる;しかし $(\Delta W)^2$ は $\Delta t$ のオーダーであり——$\partial_tF\,\Delta t$ と同じオーダーであって、まったく無視できない。これは $(\Delta x)^2$ が常に $\Delta x$ に比べて無視できる通常の微積分とは異なる。

$(\Delta W)^2$ をその平均で置き換える。二次変分の定理により、多くの小さなステップにわたって足し合わせると $(\Delta W)^2$ は $\Delta t$(その平均であり、ステップが縮小し足し合わされるにつれてその平均の周りの揺らぎは消える)のように振る舞う。これが、無限小ステップの極限における発見的な置き換え規則 $(dW_t)^2=dt$ の非形式的な正当化である。

極限をとる。無視できる高次の項を落とし、$\Delta t\to0$ の極限で $(\Delta W)^2\to dt$ を代入すると、テイラー展開はまさに主張どおりの微分形 $dF=\Big(\partial_tF+\tfrac12\partial_x^2F\Big)dt+\partial_xF\,dW_t$ になる——$\tfrac12\partial_x^2F\,dt$ の項こそが、通常の微積分では捨てられるが確率解析では保持しなければならない寄与そのものである。