← 戻る ライブラリ › 確率と統計 › 現代確率論 確率と統計
ブラウン運動と確率解析 不規則な運動をモデル化する連続な確率過程で、金融や物理学で使われる独自の解析学を持つ。
直観 水の中で踊る花粉の粒は、なぜ独自の種類の微積分を必要とするのだろうか? 1827年、植物学者ロバート・ブラウンは顕微鏡下で水に浮遊する花粉の粒を観察し、それらが絶え間なく震え、瞬間ごとに方向を変え、彼には見分けられる規則性が全くないことに気づいた。この説明は何十年も後になってようやく理解された:各粒は毎秒何十億個もの目に見えない水分子によってあらゆる方向から叩かれており、各瞬間の正味のランダムな衝撃が粒を完全に予測不可能な方向へわずかに押しやる。ブラウン運動 とは、この終わりのない、方向性のない震えの数学的な理想化である:連続な——決して跳躍しない——ランダムな経路でありながら、あまりにギザギザであるため、どの瞬間にもきちんと定義された速度を決して持たない。経路が連続でありながらどこも滑らかでないというこの一つの事実こそが、数学者にまったく新しい微積分を構築することを強いる。なぜなら通常の微積分は、曲線を拡大すれば直線のように見え得る ことを前提としているからである。
任意の時刻 t > 0 t > 0 t > 0 W t W_t W t N ( 0 , t ) \mathcal{N}(0, t) N ( 0 , t ) ≈ 68 % \approx 68\% ≈ 68% [ − t , + t ] [-\sqrt{t}, +\sqrt{t}] [ − t , + t ] 上の分布曲線は、ある時刻に粒子がどこにいるかを表す。2次元ブラウン運動はこの過程を独立に2つ組み合わせたもので、時間を第3の座標にすると、1つの標本経路はギザギザした時空間の曲線になる。
時間に対する2つの独立なブラウン座標の決定論的な標本経路。x と y は位置、z は時間を表す。ステップ数を変えて、異なる解像度の再現可能な離散標本を比べよう。 大学 ウィーナー過程:厳密な定義 定義: 標準ウィーナー過程(ブラウン運動)
標準ウィーナー過程 (またはブラウン運動)とは、連続時間確率過程 ( W t ) t ≥ 0 (W_t)_{t\ge0} ( W t ) t ≥ 0 W 0 = 0 W_0=0 W 0 = 0 独立増分 を持つ——任意の 0 ≤ t 1 < t 2 < t 3 < ⋯ 0\le t_1<t_2<t_3<\cdots 0 ≤ t 1 < t 2 < t 3 < ⋯ W t 2 − W t 1 , W t 3 − W t 2 , … W_{t_2}-W_{t_1},\ W_{t_3}-W_{t_2},\dots W t 2 − W t 1 , W t 3 − W t 2 , … s < t s<t s < t W t − W s ∼ N ( 0 , t − s ) W_t-W_s\sim N(0,t-s) W t − W s ∼ N ( 0 , t − s ) t ↦ W t t\mapsto W_t t ↦ W t
W t − W s ∼ N ( 0 , t − s ) W_t-W_s\sim N(0,t-s) W t − W s ∼ N ( 0 , t − s ) ブラウン経路の決定的で、ほとんど逆説的な特徴は、その二次変分 である:[ 0 , t ] [0,t] [ 0 , t ] W W W t t t ∑ i ( W t i + 1 − W t i ) 2 → t \sum_{i}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2 \to t ∑ i ( W t i + 1 − W t i ) 2 → t t t t 0 0 0 f f f Δ t \sqrt{\Delta t} Δ t Δ t \Delta t Δ t Δ t \Delta t Δ t Δ t \sqrt{\Delta t} Δ t
∑ i ( W t i + 1 − W t i ) 2 → t \sum_{i}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2 \to t i ∑ ( W t i + 1 − W t i ) 2 → t 通常の微積分と確率(伊藤)解析の比較 側面 滑らかな関数 f ( t ) f(t) f ( t ) ブラウン経路 W t W_t W t 微分可能性 微分可能で、接線が存在する 至る所微分不可能で、どこにも接線が存在しない Δ t \Delta t Δ t Δ t \Delta t Δ t Δ t \sqrt{\Delta t} Δ t [ 0 , t ] [0,t] [ 0 , t ] 0 0 0 t t t F ( f ( t ) ) F(f(t)) F ( f ( t )) d F = F ′ ( f ) f ′ ( t ) d t dF=F'(f)f'(t)\,dt d F = F ′ ( f ) f ′ ( t ) d t 余分な二階微分の項が必要(伊藤の補題)
標準ウィーナー過程 W W W t > 0 t>0 t > 0 0 0 0 [ 0 , t ] [0,t] [ 0 , t ] ∑ i ( W t i + 1 − W t i ) 2 → t \sum_{i}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2 \to t ∑ i ( W t i + 1 − W t i ) 2 → t s ↦ W s s\mapsto W_s s ↦ W s s ∈ [ 0 , t ] s\in[0,t] s ∈ [ 0 , t ]
なぜ正しいのか? これは確率解析をそもそも必要にする定理である:古典的な微積分で d t dt d t d W t dW_t d W t ( d W t ) 2 = d t (dW_t)^2=dt ( d W t ) 2 = d t
証明 二次変分。[ 0 , t ] [0,t] [ 0 , t ] t / n t/n t / n n n n Q n = ∑ i = 1 n ( W i t / n − W ( i − 1 ) t / n ) 2 Q_n=\sum_{i=1}^n(W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2 Q n = ∑ i = 1 n ( W i t / n − W ( i − 1 ) t / n ) 2 ( W i t / n − W ( i − 1 ) t / n ) 2 (W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2 ( W i t / n − W ( i − 1 ) t / n ) 2 t / n t/n t / n N ( 0 , t / n ) N(0,t/n) N ( 0 , t / n ) 2 ( t / n ) 2 2(t/n)^2 2 ( t / n ) 2 n n n E [ Q n ] = t E[Q_n]=t E [ Q n ] = t n → ∞ n\to\infty n → ∞ V a r ( Q n ) = 2 t 2 / n → 0 \mathrm{Var}(Q_n)=2t^2/n\to0 Var ( Q n ) = 2 t 2 / n → 0 Q n → t Q_n\to t Q n → t
至る所微分不可能性。背理法により、W W W s s s W ′ ( s ) = L W'(s)=L W ′ ( s ) = L h h h W s + h − W s ≈ L h W_{s+h}-W_s\approx Lh W s + h − W s ≈ L h h h h h 2 h^2 h 2 h h h 典型的な 二乗増分が h h h h h h h 2 h^2 h 2 h h h t / h t/h t / h 0 0 0 t t t
この不一致——微分可能性は二次変分が 0 0 0 t > 0 t>0 t > 0
W t W_t W t F ( t , x ) F(t,x) F ( t , x ) x x x t t t F ( t , W t ) F(t,W_t) F ( t , W t ) d F = ( ∂ t F + 1 2 ∂ x 2 F ) d t + ∂ x F d W t dF=\Big(\partial_tF+\tfrac12\partial_x^2F\Big)dt+\partial_xF\,dW_t d F = ( ∂ t F + 2 1 ∂ x 2 F ) d t + ∂ x F d W t
なぜ正しいのか? これは確率解析において最も頻繁に使われる道具である:ランダムな経路の関数をどのように微分するかを正確に教えてくれ、ブラウン運動に依存する任意の量(オプション価格、物理的な観測量)のダイナミクスを導出する出発点となる。
証明 テイラー展開。滑らかな F F F Δ t \Delta t Δ t Δ W = W t + Δ t − W t \Delta W=W_{t+\Delta t}-W_t Δ W = W t + Δ t − W t Δ F ≈ ∂ t F Δ t + ∂ x F Δ W + 1 2 ∂ x 2 F ( Δ W ) 2 + 1 2 ∂ t 2 F ( Δ t ) 2 + ∂ t ∂ x F Δ t Δ W + ⋯ \Delta F\approx \partial_tF\,\Delta t+\partial_xF\,\Delta W+\tfrac12\partial_x^2F\,(\Delta W)^2+\tfrac12\partial_t^2F\,(\Delta t)^2+\partial_t\partial_xF\,\Delta t\,\Delta W+\cdots Δ F ≈ ∂ t F Δ t + ∂ x F Δ W + 2 1 ∂ x 2 F ( Δ W ) 2 + 2 1 ∂ t 2 F ( Δ t ) 2 + ∂ t ∂ x F Δ t Δ W + ⋯
大きさによって項を並べる。Δ W \Delta W Δ W Δ t \Delta t Δ t Δ t \sqrt{\Delta t} Δ t ∂ t F Δ t \partial_tF\,\Delta t ∂ t F Δ t Δ t \Delta t Δ t ∂ x F Δ W \partial_xF\,\Delta W ∂ x F Δ W Δ t \sqrt{\Delta t} Δ t ( Δ t ) 2 (\Delta t)^2 ( Δ t ) 2 Δ t Δ W \Delta t\,\Delta W Δ t Δ W ( Δ t ) 2 (\Delta t)^2 ( Δ t ) 2 ( Δ t ) 3 / 2 (\Delta t)^{3/2} ( Δ t ) 3/2 Δ t \Delta t Δ t ( Δ W ) 2 (\Delta W)^2 ( Δ W ) 2 Δ t \Delta t Δ t ∂ t F Δ t \partial_tF\,\Delta t ∂ t F Δ t 同じ オーダーであって、まったく無視できない。これは ( Δ x ) 2 (\Delta x)^2 ( Δ x ) 2 Δ x \Delta x Δ x
( Δ W ) 2 (\Delta W)^2 ( Δ W ) 2 ( Δ W ) 2 (\Delta W)^2 ( Δ W ) 2 Δ t \Delta t Δ t ( d W t ) 2 = d t (dW_t)^2=dt ( d W t ) 2 = d t
極限をとる。無視できる高次の項を落とし、Δ t → 0 \Delta t\to0 Δ t → 0 ( Δ W ) 2 → d t (\Delta W)^2\to dt ( Δ W ) 2 → d t d F = ( ∂ t F + 1 2 ∂ x 2 F ) d t + ∂ x F d W t dF=\Big(\partial_tF+\tfrac12\partial_x^2F\Big)dt+\partial_xF\,dW_t d F = ( ∂ t F + 2 1 ∂ x 2 F ) d t + ∂ x F d W t 1 2 ∂ x 2 F d t \tfrac12\partial_x^2F\,dt 2 1 ∂ x 2 F d t
大学 実世界での応用と具体例 物理的な拡散(水中の花粉、固体中を広がる熱、混ざり合う気体分子)を記述するだけでなく、ブラウン運動と伊藤解析は現代の定量金融の数学的基盤となった。株価 S t S_t S t 幾何ブラウン運動 、d S t = μ S t d t + σ S t d W t dS_t=\mu S_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t d S t = μ S t d t + σ S t d W t μ \mu μ σ \sigma σ V ( t , S t ) V(t,S_t) V ( t , S t ) ブラック・ショールズ偏微分方程式 、∂ t V + 1 2 σ 2 S 2 ∂ S 2 V + r S ∂ S V − r V = 0 \partial_tV+\tfrac12\sigma^2S^2\partial_S^2V+rS\partial_SV-rV=0 ∂ t V + 2 1 σ 2 S 2 ∂ S 2 V + r S ∂ S V − r V = 0
例: ブラウン変位の期待値と分散
ある粒子の位置は W 0 = 0 W_0=0 W 0 = 0 W t W_t W t E [ W 5 ] E[W_5] E [ W 5 ] V a r ( W 5 − W 2 ) \mathrm{Var}(W_5-W_2) Var ( W 5 − W 2 )
解答 最初の量については、s = 0 s=0 s = 0 W t − W s ∼ N ( 0 , t − s ) W_t-W_s\sim N(0,t-s) W t − W s ∼ N ( 0 , t − s ) W 5 − W 0 = W 5 W_5-W_0=W_5 W 5 − W 0 = W 5 N ( 0 , 5 ) N(0,5) N ( 0 , 5 ) E [ W 5 ] = 0 E[W_5]=0 E [ W 5 ] = 0
2番目の量については、s = 2 s=2 s = 2 t = 5 t=5 t = 5 W 5 − W 2 ∼ N ( 0 , 5 − 2 ) W_5-W_2\sim N(0,5-2) W 5 − W 2 ∼ N ( 0 , 5 − 2 ) N ( 0 , 3 ) N(0,3) N ( 0 , 3 )
N ( 0 , σ 2 ) N(0,\sigma^2) N ( 0 , σ 2 ) σ 2 \sigma^2 σ 2 V a r ( W 5 − W 2 ) = 3 \mathrm{Var}(W_5-W_2)=3 Var ( W 5 − W 2 ) = 3
分散が経過時間 t − s = 3 t-s=3 t − s = 3 s = 2 s=2 s = 2
例: F ( t , x ) = x 2 F(t,x)=x^2 F ( t , x ) = x 2
伊藤の補題を用いて、ウィーナー過程の二乗の確率微分 d ( W t 2 ) d(W_t^2) d ( W t 2 ) E [ W t 2 ] = t E[W_t^2]=t E [ W t 2 ] = t
解答 F ( t , x ) = x 2 F(t,x)=x^2 F ( t , x ) = x 2 ∂ t F = 0 \partial_tF=0 ∂ t F = 0 ∂ x F = 2 x \partial_xF=2x ∂ x F = 2 x ∂ x 2 F = 2 \partial_x^2F=2 ∂ x 2 F = 2
これらの微分(x = W t x=W_t x = W t d F = ( ∂ t F + 1 2 ∂ x 2 F ) d t + ∂ x F d W t dF=\Big(\partial_tF+\tfrac12\partial_x^2F\Big)dt+\partial_xF\,dW_t d F = ( ∂ t F + 2 1 ∂ x 2 F ) d t + ∂ x F d W t d ( W t 2 ) = ( 0 + 1 2 ⋅ 2 ) d t + 2 W t d W t d(W_t^2)=\big(0+\tfrac12\cdot2\big)dt+2W_t\,dW_t d ( W t 2 ) = ( 0 + 2 1 ⋅ 2 ) d t + 2 W t d W t d ( W t 2 ) = d t + 2 W t d W t d(W_t^2)=dt+2W_t\,dW_t d ( W t 2 ) = d t + 2 W t d W t
両辺を 0 0 0 t t t W 0 2 = 0 W_0^2=0 W 0 2 = 0 W t 2 = t + 2 ∫ 0 t W s d W s W_t^2=t+2\int_0^tW_s\,dW_s W t 2 = t + 2 ∫ 0 t W s d W s
期待値をとり、伊藤積分 ∫ 0 t W s d W s \int_0^tW_s\,dW_s ∫ 0 t W s d W s E [ W t 2 ] = t + 2 E [ ∫ 0 t W s d W s ] = t + 0 = t E[W_t^2]=t+2E\big[\int_0^tW_s\,dW_s\big]=t+0=t E [ W t 2 ] = t + 2 E [ ∫ 0 t W s d W s ] = t + 0 = t W t ∼ N ( 0 , t ) W_t\sim N(0,t) W t ∼ N ( 0 , t ) t t t
よくある誤り. 最もよくある誤りは、d W t dW_t d W t ( d t ) 2 (dt)^2 ( d t ) 2 ( d W t ) 2 (dW_t)^2 ( d W t ) 2 に見える 連鎖律を与える;両者は正確な変換公式で関係づけられるが、一つの計算の中で規約を混同することは符号の誤りのよくある原因である。 歴史的ノート
ロバート・ブラウンの1827年の顕微鏡観察は、アルベルト・アインシュタインが1905年の論文で分子運動論から粒子の確率密度を支配する拡散方程式を導出するまで、80年近く説明されないままであった。これにより物理学者はこの現象について初めて定量的で検証可能な理論を得た(まもなくジャン・ペランによって実験的に確認され、原子が実在するかどうかの論争を決着させる助けとなった)。この過程自体の厳密な確率論的構成はノーバート・ウィーナーによるもので、彼の1923年の論文は、上記の性質を持つ過程が連続な経路を持つ well-defined な数学的対象として実際に存在することを証明した——それゆえ「ウィーナー過程」という名がある。この極めて不規則な経路に対して 積分するために必要な微積分は伊藤清によって構築された。彼の1944年の論文「Stochastic Integral」は、(等長性 E [ ( ∫ 0 t H s d W s ) 2 ] = E [ ∫ 0 t H s 2 d s ] E\Big[\big(\int_0^t H_s\,dW_s\big)^2\Big]=E\Big[\int_0^t H_s^2\,ds\Big] E [ ( ∫ 0 t H s d W s ) 2 ] = E [ ∫ 0 t H s 2 d s ] ∫ H s d W s \int H_s\,dW_s ∫ H s d W s
伊藤清
研究の最前線 2026年時点
ブラウン運動はいくつもの活発な研究最前線の交差点に位置する。マーティン・ヘアラー(2014年フィールズ賞)が開発したラフパス理論と正則性構造は、伊藤型の解析を(ブラウン運動自身よりもさらに粗い)はるかに広いクラスの不規則な駆動信号へと拡張し、以前は well-defined でなかったKPZ方程式のような確率偏微分方程式に厳密な意味を与えており、これらの技法を量子場理論に現れるますます特異な方程式へ拡張する研究が続けられている。純粋な確率論では、2次元ランダム曲線(自己回避歩行、パーコレーション境界)のスケーリング極限を記述するシュラム・レヴナー発展(SLE)が、2次元のブラウン運動に近い過程と共形場理論との間の、深くまだ部分的にしか理解されていない関連を明らかにし続けている。応用面では、高頻度市場データがボラティリティは古典モデルが仮定するよりもはるかに滑らかでないことを示していることに動機づけられ、オプション価格モデルにおける標準ブラウン運動をより粗い分数変種に置き換える「ラフボラティリティモデル」が定量金融研究の活発な分野であり、古典的なPDE手法が計算上扱えなくなる次元でデリバティブを価格付けするために、高次元確率微分方程式向けの機械学習ベースの数値スキーム(深層BSDEソルバー)が開発されている。
標準ウィーナー過程において、増分 W t − W s W_t-W_s W t − W s s < t s<t s < t
N ( 0 , t − s ) N(0,t-s) N ( 0 , t − s ) N ( t − s , 1 ) N(t-s,1) N ( t − s , 1 ) [ s , t ] [s,t] [ s , t ] N ( 0 , t − s ) N(0,\sqrt{t-s}) N ( 0 , t − s ) [ 0 , t ] [0,t] [ 0 , t ]
0 0 0 t t t 無限大 平均 t t t 通常の連鎖律と比べて、伊藤の補題 d F = ( ∂ t F + 1 2 ∂ x 2 F ) d t + ∂ x F d W t dF=\Big(\partial_tF+\tfrac12\partial_x^2F\Big)dt+\partial_xF\,dW_t d F = ( ∂ t F + 2 1 ∂ x 2 F ) d t + ∂ x F d W t
ブラウン増分は常に負である ( d W t ) 2 (dW_t)^2 ( d W t ) 2 d t dt d t W t W_t W t Fはx x x オプション価格付けのためのブラック・ショールズ偏微分方程式は、何を適用して導かれるか:
通常の連鎖律を S t S_t S t 幾何ブラウン運動でモデル化された株価の関数としてのデリバティブ価値に伊藤の補題を適用する 多数の独立したトレーダーに大数の法則を適用する オプションのペイオフにフーリエ級数を適用する