ブラウン運動は正の二次変分を持ち、至る所微分不可能である

二次変分。$[0,t]$ を長さ $t/n$ の $n$ 個の等しい部分に分割し、$Q_n=\sum_{i=1}^n(W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2$ とおく。各項 $(W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2$ は平均 $t/n$(増分が $N(0,t/n)$ であるため)を持ち、正規分布の4次モーメントを用いると分散 $2(t/n)^2$ を持つ。このような独立な $n$ 個の項を足し合わせると、$E[Q_n]=t$ が厳密に成り立ち、$n\to\infty$ のとき $\mathrm{Var}(Q_n)=2t^2/n\to0$ となるので、$Q_n\to t$ が確率収束(そして平均二乗収束)の意味で成り立つ——これにより二次変分の恒等式が証明される。

至る所微分不可能性。背理法により、$W$ がある点 $s$ において有限な微分係数 $W'(s)=L$ を持って微分可能であると仮定する。すると小さい $h$ に対して $W_{s+h}-W_s\approx Lh$ となるので、長さ $h$ の微小区間にわたる二乗増分は $h^2$ のオーダーになるはずである——しかし上の二次変分の計算は、長さ $h$ の区間にわたる典型的な二乗増分が $h$ のオーダー(小さい $h$ に対して $h^2$ よりずっと大きい)であることを示しており、この $h$ のオーダーの項を $t/h$ 個の区間にわたって足し合わせることこそが、$0$ ではなく有限で正の数 $t$ に収束する合計を生み出す。

この不一致——微分可能性は二次変分が $0$ であることを強いるはずだが、実際には $t>0$ であることが証明されている——は解消不可能であり、微分可能な点は存在し得ない。完全な測度論的議論(1933年のペイリー、ウィーナー、ジグムントによる)は、任意の点の近くで差分商が有界にとどまる確率を直接評価することでこれを厳密にし、この確率が経路上のすべての点について同時に正確にゼロであることを示す。