ケプラーの第二法則(面積速度一定の法則)

$\mathbf h = \mathbf r\times\dot{\mathbf r}$と定義する。微分すると$\dot{\mathbf h} = \dot{\mathbf r}\times\dot{\mathbf r} + \mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = \mathbf 0 + \mathbf r\times\ddot{\mathbf r}$(第一項は同一ベクトル同士の外積なので常にゼロ)。中心力の下では$\ddot{\mathbf r}$は$\mathbf r$に平行であり、あるスカラー関数$f$を用いて$\ddot{\mathbf r} = f(r)\hat{\mathbf r}$と書けるので、$\mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = f(r)\,\mathbf r\times\hat{\mathbf r} = \mathbf 0$も成り立つ。よって$\dot{\mathbf h} = \mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = -\dfrac{GM}{r^{3}}(\mathbf r\times\mathbf r) = \mathbf 0$となり、$\mathbf h$は大きさも向きも一定な固定ベクトルである。

$\mathbf h$の向きが一定で、$\mathbf h = \mathbf r\times\dot{\mathbf r}$は常に$\mathbf r$に垂直であるから、位置ベクトル$\mathbf r$は$\mathbf h$に垂直な一つの固定平面内に永久に閉じ込められる――運動は平面的である。その平面内に極座標$(r,\theta)$を設定する。$\mathbf r = r\hat{\mathbf r}$、$\dot{\mathbf r} = \dot r\hat{\mathbf r} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta}$と書くと、外積は$\mathbf h = r\hat{\mathbf r}\times(\dot r\hat{\mathbf r}+r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta}) = r^{2}\dot\theta\,\hat{\mathbf z}$を与えるので、スカラー$h=r^{2}\dot\theta$自体が一定となる。

微小時間$dt$の間に、動径ベクトルはほぼ三角形の薄い扇形を掃き、その面積は$dA = \tfrac12 r\cdot(r\,d\theta) = \tfrac12 r^{2}\,d\theta$である(底辺$r\,d\theta$、高さ$r$、三角形の係数$\tfrac12$)。$dt$で割るとちょうど$\dfrac{dA}{dt} = \dfrac12 r^{2}\dot\theta = \dfrac{h}{2}$が得られる。$h$が一定であるから面積掃引率$dA/dt$は常に一定である――等しい時間に等しい面積が掃かれ、ケプラーの第二法則が証明された。$\blacksquare$