天体力学:二体問題と三体問題

これはケプラーの第二法則であり、以下の証明が示すように、重力特有の逆二乗という形とは無関係である――力が中心力(位置ベクトルに平行)であることだけから従うため、重力であるかどうかにかかわらず、あらゆる中心力に等しく成り立つ。

$\mathbf h = \mathbf r\times\dot{\mathbf r}$と定義する。微分すると$\dot{\mathbf h} = \dot{\mathbf r}\times\dot{\mathbf r} + \mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = \mathbf 0 + \mathbf r\times\ddot{\mathbf r}$(第一項は同一ベクトル同士の外積なので常にゼロ)。中心力の下では$\ddot{\mathbf r}$は$\mathbf r$に平行であり、あるスカラー関数$f$を用いて$\ddot{\mathbf r} = f(r)\hat{\mathbf r}$と書けるので、$\mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = f(r)\,\mathbf r\times\hat{\mathbf r} = \mathbf 0$も成り立つ。よって$\dot{\mathbf h} = \mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = -\dfrac{GM}{r^{3}}(\mathbf r\times\mathbf r) = \mathbf 0$となり、$\mathbf h$は大きさも向きも一定な固定ベクトルである。

$\mathbf h$の向きが一定で、$\mathbf h = \mathbf r\times\dot{\mathbf r}$は常に$\mathbf r$に垂直であるから、位置ベクトル$\mathbf r$は$\mathbf h$に垂直な一つの固定平面内に永久に閉じ込められる――運動は平面的である。その平面内に極座標$(r,\theta)$を設定する。$\mathbf r = r\hat{\mathbf r}$、$\dot{\mathbf r} = \dot r\hat{\mathbf r} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta}$と書くと、外積は$\mathbf h = r\hat{\mathbf r}\times(\dot r\hat{\mathbf r}+r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta}) = r^{2}\dot\theta\,\hat{\mathbf z}$を与えるので、スカラー$h=r^{2}\dot\theta$自体が一定となる。

微小時間$dt$の間に、動径ベクトルはほぼ三角形の薄い扇形を掃き、その面積は$dA = \tfrac12 r\cdot(r\,d\theta) = \tfrac12 r^{2}\,d\theta$である(底辺$r\,d\theta$、高さ$r$、三角形の係数$\tfrac12$)。$dt$で割るとちょうど$\dfrac{dA}{dt} = \dfrac12 r^{2}\dot\theta = \dfrac{h}{2}$が得られる。$h$が一定であるから面積掃引率$dA/dt$は常に一定である――等しい時間に等しい面積が掃かれ、ケプラーの第二法則が証明された。$\blacksquare$

これは軌道の大きさを、離心率に依存することなく、公転にかかる時間へ直接結びつける事実であり、天文学者がより小さな天体の公転周期を測って恒星や惑星の質量を「秤にかける」たびに用いられる。

定理1により面積掃引率$dA/dt=h/2$は一定であるから、一公転周期$T$にわたって積分すると全面積$A = \tfrac{h}{2}T$を得る。半長軸$a$、半短軸$b$の楕円については幾何学的に$A=\pi ab$である。両者を等置すると$A = \pi a b = \dfrac{h}{2}T$となる。

次に、ビネの方程式を通じて$h$を形状と結びつける:軌道の半通径は$p=h^{2}/GM$であり、楕円については標準的な関係式$b=a\sqrt{1-e^{2}}$および$p=a(1-e^{2})=b^{2}/a$が成り立つ。$p=h^{2}/GM$と$p=b^{2}/a$を組み合わせると$h^{2}=\dfrac{GMb^{2}}{a}$、すなわち$h = \sqrt{\dfrac{GMb^{2}}{a}} = b\sqrt{\dfrac{GM}{a}}$を得る。

この$h$の式を$\pi ab=\tfrac{h}{2}T$に代入し$T$について解くと、$T=\dfrac{2\pi ab}{h}=\dfrac{2\pi ab}{b\sqrt{GM/a}}=2\pi a\sqrt{\dfrac{a}{GM}}=2\pi\sqrt{\dfrac{a^{3}}{GM}}$となる。両辺を二乗すると$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}a^{3}$が得られ、これがケプラーの第三法則である――$e$が完全に消去されているため、離心率$e$によらずすべての楕円で成り立つ。$\blacksquare$

エネルギーと角運動量だけではケプラー軌道の大きさと形は決まるが、平面内での向きは決まらない。ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルは近点の位置を固定する追加の保存量であり、その存在自体が$1/r^2$力に特有である――大半の中心力にはこのようなベクトルは存在せず、それがまさに(下記の制限三体問題のように)大半の中心力軌道が固定された閉曲線上に留まらない理由である。

微分すると$\dfrac{d\mathbf A}{dt} = \ddot{\mathbf r}\times\mathbf h + \dot{\mathbf r}\times\dot{\mathbf h} - GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt}$。$\mathbf h$は一定(定理1)なので中間項は消える。$\ddot{\mathbf r}=-\dfrac{GM}{r^{2}}\hat{\mathbf r}$と$\mathbf h=\mathbf r\times\dot{\mathbf r}$を用い、ベクトル三重積の恒等式$\hat{\mathbf r}\times(\mathbf r\times\dot{\mathbf r}) = \mathbf r(\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf r}) - \dot{\mathbf r}(\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r)$より$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h = -\dfrac{GM}{r^{2}}\big[r\dot r\,\hat{\mathbf r} - r\dot{\mathbf r}\big] = GM\left(\dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\dot r}{r}\hat{\mathbf r}\right)$を得る。ここで$\dot r=\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf r}$は距離$r$のスカラー変化率($\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r=r$を使用)。

一方、$\hat{\mathbf r}=\mathbf r/r$を直接微分すると$\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} = \dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\mathbf r\,\dot r}{r^{2}} = \dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\dot r}{r}\hat{\mathbf r}$となり、これは上で求めた$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h/GM$の括弧内の式とまったく同じである。よって$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h = GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt}$が恒等的に成り立つ。

したがって$\dfrac{d\mathbf A}{dt} = GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} - GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} = \mathbf 0$となり、$\mathbf A$が一定であることが証明された。近点(そこでは$\dot{\mathbf r}$は$\hat{\mathbf r}$に垂直な純接線方向で速さ$v_p=h/r_p$)で$\mathbf A$を評価すると、$\dot{\mathbf r}\times\mathbf h$は大きさ$h^{2}/r_p$で$-\hat{\mathbf r}$方向を向くため$\mathbf A = \left(\dfrac{h^{2}}{r_p}-GM\right)\hat{\mathbf r}$となり、軌道方程式から$r_p=p/(1+e)=\dfrac{h^{2}}{GM(1+e)}$を用いると$\mathbf A = GMe\,\hat{\mathbf r}_p$となって、$|\mathbf A|=GMe$が近点方向を正しく向くことが確認できる。$\blacksquare$