ケプラーの第三法則

定理1により面積掃引率$dA/dt=h/2$は一定であるから、一公転周期$T$にわたって積分すると全面積$A = \tfrac{h}{2}T$を得る。半長軸$a$、半短軸$b$の楕円については幾何学的に$A=\pi ab$である。両者を等置すると$A = \pi a b = \dfrac{h}{2}T$となる。

次に、ビネの方程式を通じて$h$を形状と結びつける:軌道の半通径は$p=h^{2}/GM$であり、楕円については標準的な関係式$b=a\sqrt{1-e^{2}}$および$p=a(1-e^{2})=b^{2}/a$が成り立つ。$p=h^{2}/GM$と$p=b^{2}/a$を組み合わせると$h^{2}=\dfrac{GMb^{2}}{a}$、すなわち$h = \sqrt{\dfrac{GMb^{2}}{a}} = b\sqrt{\dfrac{GM}{a}}$を得る。

この$h$の式を$\pi ab=\tfrac{h}{2}T$に代入し$T$について解くと、$T=\dfrac{2\pi ab}{h}=\dfrac{2\pi ab}{b\sqrt{GM/a}}=2\pi a\sqrt{\dfrac{a}{GM}}=2\pi\sqrt{\dfrac{a^{3}}{GM}}$となる。両辺を二乗すると$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}a^{3}$が得られ、これがケプラーの第三法則である――$e$が完全に消去されているため、離心率$e$によらずすべての楕円で成り立つ。$\blacksquare$