ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルの保存

微分すると$\dfrac{d\mathbf A}{dt} = \ddot{\mathbf r}\times\mathbf h + \dot{\mathbf r}\times\dot{\mathbf h} - GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt}$。$\mathbf h$は一定(定理1)なので中間項は消える。$\ddot{\mathbf r}=-\dfrac{GM}{r^{2}}\hat{\mathbf r}$と$\mathbf h=\mathbf r\times\dot{\mathbf r}$を用い、ベクトル三重積の恒等式$\hat{\mathbf r}\times(\mathbf r\times\dot{\mathbf r}) = \mathbf r(\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf r}) - \dot{\mathbf r}(\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r)$より$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h = -\dfrac{GM}{r^{2}}\big[r\dot r\,\hat{\mathbf r} - r\dot{\mathbf r}\big] = GM\left(\dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\dot r}{r}\hat{\mathbf r}\right)$を得る。ここで$\dot r=\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf r}$は距離$r$のスカラー変化率($\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r=r$を使用)。

一方、$\hat{\mathbf r}=\mathbf r/r$を直接微分すると$\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} = \dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\mathbf r\,\dot r}{r^{2}} = \dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\dot r}{r}\hat{\mathbf r}$となり、これは上で求めた$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h/GM$の括弧内の式とまったく同じである。よって$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h = GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt}$が恒等的に成り立つ。

したがって$\dfrac{d\mathbf A}{dt} = GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} - GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} = \mathbf 0$となり、$\mathbf A$が一定であることが証明された。近点(そこでは$\dot{\mathbf r}$は$\hat{\mathbf r}$に垂直な純接線方向で速さ$v_p=h/r_p$)で$\mathbf A$を評価すると、$\dot{\mathbf r}\times\mathbf h$は大きさ$h^{2}/r_p$で$-\hat{\mathbf r}$方向を向くため$\mathbf A = \left(\dfrac{h^{2}}{r_p}-GM\right)\hat{\mathbf r}$となり、軌道方程式から$r_p=p/(1+e)=\dfrac{h^{2}}{GM(1+e)}$を用いると$\mathbf A = GMe\,\hat{\mathbf r}_p$となって、$|\mathbf A|=GMe$が近点方向を正しく向くことが確認できる。$\blacksquare$