解の公式を導く

ステップ1（正規化）： $a\neq0$ なので、$ax^2+bx+c=0$ の各項を $a$ で割ると $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ となり、最高次係数が $1$ の同値な方程式が得られる。

ステップ2（平方完成）： 最初の2項 $x^2+\dfrac{b}{a}x$ は完全平方 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}$ の始まりである。$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ に $\dfrac{b^2}{4a^2}$ を足して引くことで $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0$ と書き直せる。

ステップ3（平方の項を分離）： 定数項を右辺に移し、共通分母 $4a^2$ でまとめる:$-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{-b^2+4ac}{4a^2}=-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=-\dfrac{\Delta}{4a^2}$。これより $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ が得られる。

ステップ4（両辺の平方根をとる）： $\Delta\ge0$ のとき右辺は非負の実数なので、両辺に実数の平方根が存在する: $x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$（$\pm$ は $a$ 自身の符号に関わらず両方の符号をすでに含んでいる）。

ステップ5（xを分離）： 両辺から $\dfrac{b}{2a}$ を引くと $x=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$、これはまさに $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ である。用いたすべての代数的操作（0でない $a$ で割る、同じ量を加減する、等しい非負の数の平方根をとる）は可逆であるため、この公式は $\Delta\ge0$ である限り必要十分である。