9年生

二次方程式

ax²+bx+c=0 の形の方程式で、因数分解・平方完成・解の公式で解く。

直観直線ではなく曲線の軌道

ボールを投げると、それは直線ではなく進む——重力がその軌道を放物線に曲げる。ある量が別の量の2乗に依存するところ(正方形の土地の面積、重力による落下距離、2段階の複利成長)には常に関係式 $y=ax^2+bx+c$ が現れ、「yがある目標値になるのはいつか」を問うことは $ax^2+bx+c=0$ を解くことに等しい。直線と違い、放物線は固定された高さを0回、1回、あるいは2回横切ることができる——だから二次方程式は2つの解、1つの解、あるいは解なしを持ちうる。

放物線

y=x^2-2x-3

c

と

d

を動かすと、

y=0

との2つの交点が一緒に動いたり、1つに合体したり、完全に消えたりするのが見える。

中高標準形と判別式

定義: 二次方程式と判別式

$x$ についての二次方程式とは、標準形 $ax^2+bx+c=0$ （ $a\neq0$ ）に書き直せる方程式である。その判別式は3つの係数だけから作られる数 $\Delta=b^2-4ac$ であり、下の定理が示すように、その符号だけで方程式が持つ実数解の個数が決まる。

ax^2+bx+c=0

二次方程式を解く3つの技法がある。因数分解は左辺が2つの単純な一次因数に分かれる場合(速いが、きれいな数のときしか使えない)、平方完成（常に使え、次の技法の原動力である）、そして解の公式 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ で、常に使え推測を必要としない。

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

判別式が教えてくれること
Δの符号	実数解の個数	解の公式
$\Delta>0$	2個、異なる	$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta=0$	1個(重解)	$x=-\dfrac{b}{2a}$
$\Delta<0$	なし(実数解)	—

大学2つの重要な定理

定理: 解の公式を導く

$a\neq0$ のとき、 $ax^2+bx+c=0$ のすべての実数解は $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ （ $\Delta=b^2-4ac$ ）を満たす。逆に $\Delta\ge0$ である限り、この公式は本物の解を与える。

なぜ正しいのか?

因数分解はきれいな数に恵まれたときしかうまくいかない。平方完成はどんな二次方程式も「完全平方＝ある数」の形に変え、それを平方根で「元に戻す」ことができる——これにより、推測を一切必要とせずあらゆる二次方程式を解く1つの公式が得られる。

証明

ステップ1（正規化）： $a\neq0$ なので、 $ax^2+bx+c=0$ の各項を $a$ で割ると $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ となり、最高次係数が $1$ の同値な方程式が得られる。

ステップ2（平方完成）： 最初の2項 $x^2+\dfrac{b}{a}x$ は完全平方 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}$ の始まりである。 $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ に $\dfrac{b^2}{4a^2}$ を足して引くことで $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0$ と書き直せる。

ステップ3（平方の項を分離）： 定数項を右辺に移し、共通分母 $4a^2$ でまとめる: $-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{-b^2+4ac}{4a^2}=-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=-\dfrac{\Delta}{4a^2}$ 。これより $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ が得られる。

ステップ4（両辺の平方根をとる）： $\Delta\ge0$ のとき右辺は非負の実数なので、両辺に実数の平方根が存在する: $x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ （ $\pm$ は $a$ 自身の符号に関わらず両方の符号をすでに含んでいる）。

ステップ5（xを分離）： 両辺から $\dfrac{b}{2a}$ を引くと $x=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 、これはまさに $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ である。用いたすべての代数的操作（0でない $a$ で割る、同じ量を加減する、等しい非負の数の平方根をとる）は可逆であるため、この公式は $\Delta\ge0$ である限り必要十分である。

定理: 判別式の符号が解の個数を決める

$a\neq0$ のとき、方程式 $ax^2+bx+c=0$ は $\Delta>0$ ならちょうど2つの異なる実数解を、 $\Delta=0$ ならちょうど1つの実数解 $x=-\dfrac{b}{2a}$ を、 $\Delta<0$ なら実数解を持たない。

なぜ正しいのか?

これにより「放物線がx軸を何回横切るか」という図に関する問いが、「1つの数の符号を調べる」という何も描かずに答えられる問いに変わる。

証明

この証明のすべての手順は、前の定理で確立した恒等式 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ を再利用する。これは $\Delta$ の符号に関係なく $a\neq0$ を満たす任意の実数 $a,b,c$ に対して成り立つ—— $\Delta\ge0$ に依存するのは最後の平方根の手順だけである。

** $\Delta>0$ の場合。** 右辺 $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ は正の数(正の分子を正の分母 $4a^2$ で割ったもの)なので、2つの異なる平方根 $+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ と $-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ を持ち、 $\sqrt{\Delta}\neq0$ なのでこれらは異なる。それぞれが $x+\dfrac{b}{2a}$ の異なる値を与え、したがって $x$ の異なる値を与える:ちょうど2つの異なる実数解。

** $\Delta=0$ の場合。** 右辺は $0$ になり、平方が $0$ になる唯一の実数は $0$ 自身である——もはや「 $\pm$ 」のあいまいさは残らない。よって $x+\dfrac{b}{2a}=0$ となり、唯一の解 $x=-\dfrac{b}{2a}$ が得られる。これは左辺を直接 $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ と因数分解すること、すなわちちょうど1回だけ0に触れる完全平方と一致する。

** $\Delta<0$ の場合。** 右辺 $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ は今度は負である。しかし左辺 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ は実数の平方であり、実数の平方は常に $\ge0$ である——負の数に等しくなることは決してない。したがってこの場合、 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ を満たす実数 $x$ は存在せず、元の方程式は実数解を全く持たない。

大学実世界での応用と具体例

一定の加速度のもとでの運動、面積、あるいは変化する2つの量の積が関わるところには常に二次式が現れる:時間に対する投げ上げた物体の高さ、周の長さが決まった長方形の土地の寸法、価格の二次関数としての企業の利益。「その量がいつ0(あるいは目標値)になるか」を解くことは、まさに二次方程式を解くことである。

例: 物理学——投げた物体はいつ着地するか

あるボールを投げたとき、 $t$ 秒後の高さ(メートル)が $h(t)=-t^2+4t+5$ で与えられる。ボールが地面に着く(高さ $0$ )時刻を求めよ。

解答

ステップ1（高さを0とおき標準化する）： 着地とは $-t^2+4t+5=0$ を意味する。両辺に $-1$ を掛けて最高次係数を正にすると $t^2-4t-5=0$ 。

ステップ2（因数分解して解釈する）： $-5\times1=-5$ 、 $-5+1=-4$ なので、 $(t-5)(t+1)=0$ と因数分解でき、 $t=5$ または $t=-1$ が得られる。負の時刻はここでは物理的に意味を持たない(ボールは $t=0$ で投げられる)ため除外し、意味のある答えは $t=5$ 秒だけとなる。

例: ビジネス——利益がゼロになる価格

ある企業の月間利益(千ドル単位)が価格水準 $x$ の関数として $P(x)=-x^2+10x-16$ で与えられる。企業がちょうど損益分岐点となる(利益 $=0$ )2つの価格水準を求めよ。

解答

ステップ1（利益を0とおき標準化する）： 損益分岐点とは $-x^2+10x-16=0$ を意味する。両辺に $-1$ を掛けると $x^2-10x+16=0$ 。

ステップ2（因数分解し両方の解を解釈する）： $-2\times-8=16$ 、 $-2+-8=-10$ なので $(x-2)(x-8)=0$ と因数分解でき、 $x=2$ と $x=8$ が得られる。どちらも物理的に意味のある価格水準であり、 $x=2$ と $x=8$ でちょうど利益が0になり、(利益の放物線は下に開くため)その間では正になる——企業はこの2つの損益分岐点の間のどこかに価格を設定すれば利益が出る。

$2x^2-4x-6=0$ の判別式を求めよ。

$\Delta<0$ のとき、二次方程式は何個の実数解を持つか。

$x^2-5x+6=0$ を因数分解して解け。

ボールの高さは $h(t)=-t^2+4t+5$ である。正の時刻でいつ着地するか。