正則値の定理（逆像定理）

$p \in f^{-1}(q)$ を固定する。$df_p: T_pM \to T_qN$ が全射で $\dim T_pM = m \ge n = \dim T_qN$ なので、核 $K = \ker df_p$ の次元は $m-n$ である。線形補空間 $W$ を $T_pM = K \oplus W$ かつ $\dim W = n$ となるように選ぶと、$df_p|_W : W \to T_qN$ は同型である。

$p$ と $q$ を中心とする局所座標（チャート経由）で考え、$f$ を $f(0)=0$、$df_0$ が全射である滑らかな写像 $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ とする。座標を並べ替えて $(x,y) \in \mathbb{R}^{m-n}\times\mathbb{R}^n$ とし、$0$ における $\partial f/\partial y$ が可逆な $n\times n$ ブロックになるようにする（$df_0$ の階数が $n$ なので可能）。

$\Phi(x,y) = (x, f(x,y))$ と定義する。すると $d\Phi_0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ \partial f/\partial x & \partial f/\partial y \end{pmatrix}$ は $\det d\Phi_0 = \det(\partial f/\partial y) \ne 0$ を持ち、逆関数定理より $\Phi$ は局所微分同相写像である。新しい座標 $(x,y') = \Phi(x,y)$ では、方程式 $f=q$（すなわち $f=0$）はちょうど $y'=0$ になる。

よって $p$ の近くでは、$f^{-1}(q)$ は集合 $\{y'=0\}$ であり、これはこの座標系において文字通り $(m-n)$ 次元の座標断面——$f^{-1}(q)$ の滑らかなチャートである。$p$ は任意であったので、$f^{-1}(q)$ のすべての点にこのようなチャートがあり、これらのチャート間の遷移写像は $M$ の（滑らかな）遷移写像の制限であるため滑らかである。したがって $f^{-1}(q)$ は滑らかな $(m-n)$ 次元部分多様体である。