滑らかな多様体

この定理は多様体を作り出すための主要な道具である：アトラスを手作業で示す代わりに、図形をある写像のゼロ集合として記述し、各解点で線形代数的条件（微分の全射性）を確認するだけでよい。

$p \in f^{-1}(q)$ を固定する。$df_p: T_pM \to T_qN$ が全射で $\dim T_pM = m \ge n = \dim T_qN$ なので、核 $K = \ker df_p$ の次元は $m-n$ である。線形補空間 $W$ を $T_pM = K \oplus W$ かつ $\dim W = n$ となるように選ぶと、$df_p|_W : W \to T_qN$ は同型である。

$p$ と $q$ を中心とする局所座標（チャート経由）で考え、$f$ を $f(0)=0$、$df_0$ が全射である滑らかな写像 $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ とする。座標を並べ替えて $(x,y) \in \mathbb{R}^{m-n}\times\mathbb{R}^n$ とし、$0$ における $\partial f/\partial y$ が可逆な $n\times n$ ブロックになるようにする（$df_0$ の階数が $n$ なので可能）。

$\Phi(x,y) = (x, f(x,y))$ と定義する。すると $d\Phi_0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ \partial f/\partial x & \partial f/\partial y \end{pmatrix}$ は $\det d\Phi_0 = \det(\partial f/\partial y) \ne 0$ を持ち、逆関数定理より $\Phi$ は局所微分同相写像である。新しい座標 $(x,y') = \Phi(x,y)$ では、方程式 $f=q$（すなわち $f=0$）はちょうど $y'=0$ になる。

よって $p$ の近くでは、$f^{-1}(q)$ は集合 $\{y'=0\}$ であり、これはこの座標系において文字通り $(m-n)$ 次元の座標断面——$f^{-1}(q)$ の滑らかなチャートである。$p$ は任意であったので、$f^{-1}(q)$ のすべての点にこのようなチャートがあり、これらのチャート間の遷移写像は $M$ の（滑らかな）遷移写像の制限であるため滑らかである。したがって $f^{-1}(q)$ は滑らかな $(m-n)$ 次元部分多様体である。

この一つの恒等式は、微積分の基本定理、グリーンの定理、発散定理、ベクトル解析の古典的ストークスの定理を、微分形式についての一つの主張に統一し、ド・ラームコホモロジーの背後にある解析的エンジンである。

ステップ1（局所的な場合、半空間）。 まず $M = \mathbb{H}^n = \{x_n \ge 0\}$ で、$\omega$ が単一のチャート内でコンパクト台を持つとする。$\omega = \sum_i f_i\, dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_i}\cdots\wedge dx_n$ と書く。すると $d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$ であり、$\int_{\mathbb{H}^n} d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\int \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\,dx_1\cdots dx_n$。

$i < n$ については、$\partial f_i/\partial x_i$ を先に $x_i \in \mathbb{R}$ について積分すると、コンパクト台より通常の微積分の基本定理で $0$ になる（$x_i=\pm\infty$ で $f_i \to 0$）。$i=n$ については、$x_n \in [0,\infty)$ について積分すると $\int \frac{\partial f_n}{\partial x_n}dx_n = [f_n]_0^\infty = -f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)$（$x_n=\infty$ でのコンパクト台を再び使用）となるので、$i=n$ の項だけが残る：$\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = (-1)^{n-1}\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \left(-f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)\right)dx_1\cdots dx_{n-1}$。

境界 $\partial\mathbb{H}^n = \{x_n=0\}$ 上で（外向き法線 $-\partial_n$ が最後に来るよう向き付け、向き符号 $(-1)^n$ を与える）、$\omega$ の制限は $\omega|_{\partial} = f_n\, dx_1\wedge\cdots\wedge dx_{n-1}$ である（他の項は $dx_n$ を含むかスライス上で消えるので $0$ に制限される）。標準的な境界向き付けの規約による符号の直接確認により $\int_{\partial \mathbb{H}^n}\omega = (-1)^n \int f_n\,dx_1\cdots dx_{n-1}$ となり、上の式と正確に一致する。よってこの局所モデルで $\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = \int_{\partial\mathbb{H}^n}\omega$ が成り立つ。

ステップ2（1の分割、大域化）。 一般の $M$ と一般の $\omega$ については、（コンパクト性を用いて）$M$ を有限個のチャート $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ で覆い、この被覆に従属する滑らかな1の分割 $\{\rho_\alpha\}$ を選ぶ。すなわち $\sum_\alpha \rho_\alpha = 1$ かつ $\operatorname{supp}\rho_\alpha \subset U_\alpha$。$\omega = \sum_\alpha \rho_\alpha\omega$ と書くと、各 $\rho_\alpha\omega$ は単一のチャート内でコンパクト台を持ち、そのチャートは完全に内部にあるか（このとき $\int_{\partial}\rho_\alpha\omega = 0$ は自明であり、境界のない $\mathbb{R}^n$ に適用したステップ1により $\int_M d(\rho_\alpha\omega)=0$）、$\partial M$ と交わるか（$\varphi_\alpha$ で移した後、$d$ と向き付けの両方を保つのでステップ1が直接適用できる）のいずれかである。

$d$ は線形なので $d\omega = \sum_\alpha d(\rho_\alpha\omega)$（交差項 $d\rho_\alpha \wedge \omega$ を合計したとき正しく処理するために $\sum_\alpha d\rho_\alpha = d(\sum_\alpha \rho_\alpha) = d(1) = 0$ を使う）。ステップ1の局所的な恒等式をすべての $\alpha$ について積分し合計すると：$\int_M d\omega = \sum_\alpha \int_M d(\rho_\alpha\omega) = \sum_\alpha \int_{\partial M} \rho_\alpha\omega = \int_{\partial M}\omega$ となり、これはまさに $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$ である。