ストークスの定理

ステップ1（局所的な場合、半空間）。 まず $M = \mathbb{H}^n = \{x_n \ge 0\}$ で、$\omega$ が単一のチャート内でコンパクト台を持つとする。$\omega = \sum_i f_i\, dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_i}\cdots\wedge dx_n$ と書く。すると $d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$ であり、$\int_{\mathbb{H}^n} d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\int \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\,dx_1\cdots dx_n$。

$i < n$ については、$\partial f_i/\partial x_i$ を先に $x_i \in \mathbb{R}$ について積分すると、コンパクト台より通常の微積分の基本定理で $0$ になる（$x_i=\pm\infty$ で $f_i \to 0$）。$i=n$ については、$x_n \in [0,\infty)$ について積分すると $\int \frac{\partial f_n}{\partial x_n}dx_n = [f_n]_0^\infty = -f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)$（$x_n=\infty$ でのコンパクト台を再び使用）となるので、$i=n$ の項だけが残る：$\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = (-1)^{n-1}\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \left(-f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)\right)dx_1\cdots dx_{n-1}$。

境界 $\partial\mathbb{H}^n = \{x_n=0\}$ 上で（外向き法線 $-\partial_n$ が最後に来るよう向き付け、向き符号 $(-1)^n$ を与える）、$\omega$ の制限は $\omega|_{\partial} = f_n\, dx_1\wedge\cdots\wedge dx_{n-1}$ である（他の項は $dx_n$ を含むかスライス上で消えるので $0$ に制限される）。標準的な境界向き付けの規約による符号の直接確認により $\int_{\partial \mathbb{H}^n}\omega = (-1)^n \int f_n\,dx_1\cdots dx_{n-1}$ となり、上の式と正確に一致する。よってこの局所モデルで $\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = \int_{\partial\mathbb{H}^n}\omega$ が成り立つ。

ステップ2（1の分割、大域化）。 一般の $M$ と一般の $\omega$ については、（コンパクト性を用いて）$M$ を有限個のチャート $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ で覆い、この被覆に従属する滑らかな1の分割 $\{\rho_\alpha\}$ を選ぶ。すなわち $\sum_\alpha \rho_\alpha = 1$ かつ $\operatorname{supp}\rho_\alpha \subset U_\alpha$。$\omega = \sum_\alpha \rho_\alpha\omega$ と書くと、各 $\rho_\alpha\omega$ は単一のチャート内でコンパクト台を持ち、そのチャートは完全に内部にあるか（このとき $\int_{\partial}\rho_\alpha\omega = 0$ は自明であり、境界のない $\mathbb{R}^n$ に適用したステップ1により $\int_M d(\rho_\alpha\omega)=0$）、$\partial M$ と交わるか（$\varphi_\alpha$ で移した後、$d$ と向き付けの両方を保つのでステップ1が直接適用できる）のいずれかである。

$d$ は線形なので $d\omega = \sum_\alpha d(\rho_\alpha\omega)$（交差項 $d\rho_\alpha \wedge \omega$ を合計したとき正しく処理するために $\sum_\alpha d\rho_\alpha = d(\sum_\alpha \rho_\alpha) = d(1) = 0$ を使う）。ステップ1の局所的な恒等式をすべての $\alpha$ について積分し合計すると：$\int_M d\omega = \sum_\alpha \int_M d(\rho_\alpha\omega) = \sum_\alpha \int_{\partial M} \rho_\alpha\omega = \int_{\partial M}\omega$ となり、これはまさに $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$ である。