射影分解の比較定理

ステップ1（次数ごとに恒等写像を持ち上げる）。$f_n: P_n \to Q_n$ を帰納的に構成する。$n=0$ の場合：$P_0$ が射影的で $Q_0 \to M$ が全射であるから、写像 $P_0 \to M$ は $Q_0 \to M$ を通じて持ち上がり、$f_0: P_0 \to Q_0$ を与える。帰納的に、$d f_{n-1} = f_{n-2} d$（$n=1$ の場合は拡大写像）を満たす $f_{n-1}$ が構成されているとすると、合成 $P_n \xrightarrow{d} P_{n-1} \xrightarrow{f_{n-1}} Q_{n-1}$ は、$Q$-分解の完全性とこれまでの可換性により $\ker(Q_{n-1}\to Q_{n-2})=\operatorname{im}(Q_n \to Q_{n-1})$ に入り、$P_n$ が射影的であるからこの写像は全射 $Q_n \to \operatorname{im}(Q_n\to Q_{n-1})$ を通じて持ち上がり、$d f_n = f_{n-1} d$ を満たす $f_n: P_n \to Q_n$ を与える。

ステップ2（$g_\bullet$ の対称的構成）。$P_\bullet$ と $Q_\bullet$ の役割を入れ替えた同一の議論により、$\mathrm{id}_M$ を持ち上げる $g_\bullet: Q_\bullet \to P_\bullet$ が得られる。

ステップ3（ホモトピーの一意性）。$f_\bullet, f'_\bullet: P_\bullet \to Q_\bullet$ をともに $\mathrm{id}_M$ を持ち上げる二つの鎖写像とし、$h_\bullet = f_\bullet - f'_\bullet$（$0$ を持ち上げる鎖写像）とおく。$h_n = d s_n + s_{n-1} d$ を満たす鎖ホモトピー $s_n: P_n \to Q_{n+1}$ を帰納的に構成する：$n=0$ のとき、$h_0: P_0 \to Q_0$ と $Q_0\to M$ の合成は（$h$ が $0$ を持ち上げるので）$0$ であり、$h_0$ は $\ker(Q_0\to M)=\operatorname{im}(Q_1\to Q_0)$ を経由する；$P_0$ の射影性によりこの分解は $s_0: P_0 \to Q_1$（$d s_0 = h_0$）へ持ち上がる。帰納的に、$s_{n-1}$ が構成されると、$h_n - s_{n-1} d: P_n \to Q_n$ と $d: Q_n \to Q_{n-1}$ の合成は帰納関係によりゼロになるので、（$Q_\bullet$ の完全性により）$\operatorname{im}(Q_{n+1}\to Q_n)$ を経由し、$P_n$ の射影性によりこれは $d s_n = h_n - s_{n-1}d$ を満たす $s_n$ へ持ち上がる、すなわち求める $h_n = d s_n + s_{n-1}d$ が得られる。

ステップ4（結論）。ステップ3により、$\mathrm{id}_M$ の任意の二つの持ち上げは鎖ホモトピックであることが分かり、特に $g_\bullet f_\bullet$ と $\mathrm{id}_{P_\bullet}$ はともに（$P_\bullet \to Q_\bullet \to P_\bullet$ を経由する）$\mathrm{id}_M \circ \mathrm{id}_M = \mathrm{id}_M$ の持ち上げであるから、$f_\bullet \simeq g_\bullet$ は $g_\bullet f_\bullet \simeq \mathrm{id}_{P_\bullet}$ を意味し、対称的に $f_\bullet g_\bullet \simeq \mathrm{id}_{Q_\bullet}$ となる。これはまさに鎖ホモトピー同値の定義であり、$\operatorname{Hom}_R(-,B)$ と $-\otimes_R B$ は鎖ホモトピックな写像を鎖ホモトピックな写像に送るので、$P_\bullet$ または $Q_\bullet$ から計算されるホモロジー群 $\operatorname{Ext}^n_R(A,B)$、$\operatorname{Tor}^R_n(A,B)$ は同型になる。