ホモロジー代数

これはホモロジー代数における最も有用な計算道具である：一つの連結写像を理解するだけで、複雑な対象 $A$ のホモロジーを二つの単純な部分 $A'$ と $A''$ のホモロジーから計算できるようになる。実際に使われるすべての長完全列（マイヤー・ヴィートリス列、係数の普遍定理、五項補題の応用）はこの定理の一例である。

ステップ1（$\partial$ の構成）。$[a''] \in H_n(A'')$ を、代表サイクル $a'' \in A''_n$、$d(a'')=0$ とともにとる。$A_n \to A''_n$ は全射なので、$a''$ をある $a \in A_n$ に持ち上げる。すると $d(a) \in A_n$ は $A''_{n-1}$ において $d(a'')=0$ に写るので、完全性により $d(a) = \iota(a')$ となる一意な $a' \in A'_{n-1}$ が存在する（$\iota: A' \to A$ の単射性を用いる）。$\partial[a''] := [a']$ と定義する。

ステップ2（$a'$ はサイクルであり、$\partial$ は矛盾なく定義される）。$\iota$ が単射で鎖写像が $d$ と可換であるから、$\iota(d a') = d(\iota a') = d(d a) = 0$ となり $d a' = 0$、よって $[a']$ は真のホモロジー類である。$a''$ の別の持ち上げ $\tilde a$ を選ぶと、$\tilde a - a$ は $A''_n$ で $0$ に写るので、ある $c \in A'_n$ に対して $\tilde a - a = \iota(c)$ となる；このとき $H_{n-1}(A')$ における二つの類は $[d(c)] = 0$ だけ異なる。同様の確認により、$\partial$ が $[a'']$ のサイクル代表元に依らないことが分かる（$a''$ を $a'' + d(b'')$ に置き換えると $a$ は境界分だけ変わり、したがって $a'$ も境界分だけ変わる）。

ステップ3（$H_n(A)$ と $H_n(A'')$ での完全性）。$H_n(A)$ での完全性（$H_n(A')\to H_n(A)$ の像が $H_n(A)\to H_n(A'')$ の核に等しい）と $H_n(A'')$ での完全性（$H_n(A)\to H_n(A'')$ の像が $\partial$ の核に等しい）は、いずれも代表元上の直接的な図式追跡によって従う。用いるのは $\iota$ の単射性、商写像の全射性、鎖レベルでの $\operatorname{im}\iota = \ker(\text{quotient})$ のみであり、ステップ1–2と同様の議論を各次数ごとに適用する。

ステップ4（$H_{n-1}(A')$ での完全性）。最後に $\operatorname{im}\partial = \ker(H_{n-1}(A')\to H_{n-1}(A))$ を確認する：$\partial[a'']=[a']$ ならば $\iota(a')=d(a)$ は $A$ における境界であるから、$[a']$ は $H_{n-1}(A)$ で $0$ に写り、$\operatorname{im}\partial \subseteq \ker$ が従う；逆に、ある $a\in A_n$ に対して $\iota(a')=d(a)$ ならば、ステップ1を逆にたどると、$a$ の像である $a''=$ が $\partial[a'']=[a']$ を満たすことが分かり、逆の包含が従う。これによりすべての箇所での完全性が完成し、この構成全体はまさに古典的な蛇の補題である。

Ext と Tor は、射影分解を選んで関手を適用することで定義される。この定理は、その定義を正当化するものである：結果がどの分解を選んだかに決して依存しないことを保証し、$\operatorname{Ext}^n_R(A,B)$ と $\operatorname{Tor}^R_n(A,B)$ が選択の産物ではなく、加群の組の真の不変量であることを示す。

ステップ1（次数ごとに恒等写像を持ち上げる）。$f_n: P_n \to Q_n$ を帰納的に構成する。$n=0$ の場合：$P_0$ が射影的で $Q_0 \to M$ が全射であるから、写像 $P_0 \to M$ は $Q_0 \to M$ を通じて持ち上がり、$f_0: P_0 \to Q_0$ を与える。帰納的に、$d f_{n-1} = f_{n-2} d$（$n=1$ の場合は拡大写像）を満たす $f_{n-1}$ が構成されているとすると、合成 $P_n \xrightarrow{d} P_{n-1} \xrightarrow{f_{n-1}} Q_{n-1}$ は、$Q$-分解の完全性とこれまでの可換性により $\ker(Q_{n-1}\to Q_{n-2})=\operatorname{im}(Q_n \to Q_{n-1})$ に入り、$P_n$ が射影的であるからこの写像は全射 $Q_n \to \operatorname{im}(Q_n\to Q_{n-1})$ を通じて持ち上がり、$d f_n = f_{n-1} d$ を満たす $f_n: P_n \to Q_n$ を与える。

ステップ2（$g_\bullet$ の対称的構成）。$P_\bullet$ と $Q_\bullet$ の役割を入れ替えた同一の議論により、$\mathrm{id}_M$ を持ち上げる $g_\bullet: Q_\bullet \to P_\bullet$ が得られる。

ステップ3（ホモトピーの一意性）。$f_\bullet, f'_\bullet: P_\bullet \to Q_\bullet$ をともに $\mathrm{id}_M$ を持ち上げる二つの鎖写像とし、$h_\bullet = f_\bullet - f'_\bullet$（$0$ を持ち上げる鎖写像）とおく。$h_n = d s_n + s_{n-1} d$ を満たす鎖ホモトピー $s_n: P_n \to Q_{n+1}$ を帰納的に構成する：$n=0$ のとき、$h_0: P_0 \to Q_0$ と $Q_0\to M$ の合成は（$h$ が $0$ を持ち上げるので）$0$ であり、$h_0$ は $\ker(Q_0\to M)=\operatorname{im}(Q_1\to Q_0)$ を経由する；$P_0$ の射影性によりこの分解は $s_0: P_0 \to Q_1$（$d s_0 = h_0$）へ持ち上がる。帰納的に、$s_{n-1}$ が構成されると、$h_n - s_{n-1} d: P_n \to Q_n$ と $d: Q_n \to Q_{n-1}$ の合成は帰納関係によりゼロになるので、（$Q_\bullet$ の完全性により）$\operatorname{im}(Q_{n+1}\to Q_n)$ を経由し、$P_n$ の射影性によりこれは $d s_n = h_n - s_{n-1}d$ を満たす $s_n$ へ持ち上がる、すなわち求める $h_n = d s_n + s_{n-1}d$ が得られる。

ステップ4（結論）。ステップ3により、$\mathrm{id}_M$ の任意の二つの持ち上げは鎖ホモトピックであることが分かり、特に $g_\bullet f_\bullet$ と $\mathrm{id}_{P_\bullet}$ はともに（$P_\bullet \to Q_\bullet \to P_\bullet$ を経由する）$\mathrm{id}_M \circ \mathrm{id}_M = \mathrm{id}_M$ の持ち上げであるから、$f_\bullet \simeq g_\bullet$ は $g_\bullet f_\bullet \simeq \mathrm{id}_{P_\bullet}$ を意味し、対称的に $f_\bullet g_\bullet \simeq \mathrm{id}_{Q_\bullet}$ となる。これはまさに鎖ホモトピー同値の定義であり、$\operatorname{Hom}_R(-,B)$ と $-\otimes_R B$ は鎖ホモトピックな写像を鎖ホモトピックな写像に送るので、$P_\bullet$ または $Q_\bullet$ から計算されるホモロジー群 $\operatorname{Ext}^n_R(A,B)$、$\operatorname{Tor}^R_n(A,B)$ は同型になる。