ホモロジーの長完全列

ステップ1（$\partial$ の構成）。$[a''] \in H_n(A'')$ を、代表サイクル $a'' \in A''_n$、$d(a'')=0$ とともにとる。$A_n \to A''_n$ は全射なので、$a''$ をある $a \in A_n$ に持ち上げる。すると $d(a) \in A_n$ は $A''_{n-1}$ において $d(a'')=0$ に写るので、完全性により $d(a) = \iota(a')$ となる一意な $a' \in A'_{n-1}$ が存在する（$\iota: A' \to A$ の単射性を用いる）。$\partial[a''] := [a']$ と定義する。

ステップ2（$a'$ はサイクルであり、$\partial$ は矛盾なく定義される）。$\iota$ が単射で鎖写像が $d$ と可換であるから、$\iota(d a') = d(\iota a') = d(d a) = 0$ となり $d a' = 0$、よって $[a']$ は真のホモロジー類である。$a''$ の別の持ち上げ $\tilde a$ を選ぶと、$\tilde a - a$ は $A''_n$ で $0$ に写るので、ある $c \in A'_n$ に対して $\tilde a - a = \iota(c)$ となる；このとき $H_{n-1}(A')$ における二つの類は $[d(c)] = 0$ だけ異なる。同様の確認により、$\partial$ が $[a'']$ のサイクル代表元に依らないことが分かる（$a''$ を $a'' + d(b'')$ に置き換えると $a$ は境界分だけ変わり、したがって $a'$ も境界分だけ変わる）。

ステップ3（$H_n(A)$ と $H_n(A'')$ での完全性）。$H_n(A)$ での完全性（$H_n(A')\to H_n(A)$ の像が $H_n(A)\to H_n(A'')$ の核に等しい）と $H_n(A'')$ での完全性（$H_n(A)\to H_n(A'')$ の像が $\partial$ の核に等しい）は、いずれも代表元上の直接的な図式追跡によって従う。用いるのは $\iota$ の単射性、商写像の全射性、鎖レベルでの $\operatorname{im}\iota = \ker(\text{quotient})$ のみであり、ステップ1–2と同様の議論を各次数ごとに適用する。

ステップ4（$H_{n-1}(A')$ での完全性）。最後に $\operatorname{im}\partial = \ker(H_{n-1}(A')\to H_{n-1}(A))$ を確認する：$\partial[a'']=[a']$ ならば $\iota(a')=d(a)$ は $A$ における境界であるから、$[a']$ は $H_{n-1}(A)$ で $0$ に写り、$\operatorname{im}\partial \subseteq \ker$ が従う；逆に、ある $a\in A_n$ に対して $\iota(a')=d(a)$ ならば、ステップ1を逆にたどると、$a$ の像である $a''=$ が $\partial[a'']=[a']$ を満たすことが分かり、逆の包含が従う。これによりすべての箇所での完全性が完成し、この構成全体はまさに古典的な蛇の補題である。