括弧を持つ $\mathfrak{so}(3)$ は $(\mathbb{R}^3, \times)$ に同型

ステップ1（基底）。すべての歪対称 $X \in \mathfrak{so}(3)$ は一意な $u=(u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3$ に対して $X_u = \begin{pmatrix} 0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0 \end{pmatrix}$ の形をとり（対角線より上の三つの自由な成分が残りを決定する）、$u \mapsto X_u$ は明らかに線形かつ全単射なので、$3$ 次元ベクトル空間の間の線形同型である。

ステップ2（ベクトルへの作用）。直接計算により、すべての $v \in \mathbb{R}^3$ に対して $X_u v = u \times v$ が示される。すなわち $X_u$ は $\mathbb{R}^3$ に「$u$ との外積をとる」操作として作用する。

ステップ3（括弧が外積と一致）。ステップ2を二回用いて、任意の $v$ に対して $[X_u,X_v]w = X_u(X_v w) - X_v(X_u w) = u\times(v\times w) - v\times(u\times w)$。ベクトルの三重積公式 $a\times(b\times c) = b(a\cdot c) - c(a\cdot b)$ を両項に適用して整理すると、右辺は任意の $w$ に対して $(u\times v)\times w = X_{u\times v} w$ に帰着し、演算子として $[X_u,X_v] = X_{u\times v}$ となる——これはまさに $\mathfrak{so}(3) \cong (\mathbb{R}^3, \times), \qquad [X_u, X_v] = X_{u \times v}$ である。

ステップ4（結論）。$u \mapsto X_u$ は外積を行列括弧に変える線形全単射であるから、リー代数の同型 $(\mathbb{R}^3,\times) \cong \mathfrak{so}(3)$ を与える。