リー群とリー代数

群の乗法は非線形なので、二つの群の元を単純に足すことはできない。しかし括弧 $[X,Y] = XY - YX$ は $G$ が可換でない度合いを二次まで測るものであり、驚くべきことにその度合い自体は線形である——それは接空間に存在する。これにより、$G$ についての難しい非線形の問い（可換か？部分群は何か？）を、$\mathfrak{g}$ についての線形代数の問い（括弧は消えるか？イデアルは何か？）に置き換えることができ、これこそがリー理論が強力である理由である。

ステップ1（準備）。$X \in \mathfrak{g}$、$Y \in \mathfrak{g}$ が曲線 $\alpha(t), \beta(t) \in G$ から来るとし、$\alpha(0)=\beta(0)=I$、$\alpha'(0)=X$、$\beta'(0)=Y$ とする；一次までは $\alpha(t) \approx I + tX$、$\beta(t) \approx I + tY$。

ステップ2（交換子曲線）。$\gamma(t) = e^{tX} e^{tY} e^{-tX} e^{-tY}$ と定義する。これは $G$ が群であり $\gamma(0) = I$ なので $G$ に属する。各因子を $t$ の二次まで展開し（$e^{sZ} \approx I + sZ + \tfrac12 s^2 Z^2$ を用いて）掛け合わせると $\gamma(t) = e^{tX} e^{tY} e^{-tX} e^{-tY} = I + t^2[X,Y] + O(t^3)$ が得られる；$t$ の一次項は交換子 $g h g^{-1} h^{-1}$ であるためちょうど打ち消し合い、$XY - YX$ に等しい二次の主要項が残る。

ステップ3（接ベクトルの抽出）。$s = t^2$ で再パラメータ化し、$s \ge 0$ に対して $\sigma(s) = \gamma(\sqrt{s})$ とする；これは $\sigma(0) = I$ でステップ2により $\sigma'(0) = [X,Y]$ を満たす $G$ 内の滑らかな曲線である。$\sigma$ は $G$ の単位元を通る曲線なので、その速度ベクトル $[X,Y]$ は接空間の定義により $T_e G = \mathfrak{g}$ に属する。よって $[X,Y] \in \mathfrak{g}$。

ステップ4（ヤコビ恒等式）。$[X,Y] = XY - YX$ を用いて $[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0$ を直接代数的に展開すると、$XYZ$ の形の各項がちょうど二回、符号を逆にして現れ打ち消し合うことが分かる。よってこの恒等式は括弧が $XY-YX$ である限り、いかなる結合的な行列積についても自動的に成り立ち、追加の幾何学的入力は不要である。双線形性と反対称性 $[X,Y]=-[Y,X]$（公式から直ちに従う）と合わせて、$(\mathfrak{g}, [\cdot,\cdot])$ がリー代数であることが確認される。

この同一視こそが物理学における角速度が $3$ ベクトルである理由である：剛体の「瞬間回転率」は $\mathfrak{so}(3)$ に属し、$(\mathbb{R}^3,\times)$ との同型が、$\vec\omega \times \vec r$ が回転する物体上の点 $\vec r$ の速度を与える理由である。

ステップ1（基底）。すべての歪対称 $X \in \mathfrak{so}(3)$ は一意な $u=(u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3$ に対して $X_u = \begin{pmatrix} 0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0 \end{pmatrix}$ の形をとり（対角線より上の三つの自由な成分が残りを決定する）、$u \mapsto X_u$ は明らかに線形かつ全単射なので、$3$ 次元ベクトル空間の間の線形同型である。

ステップ2（ベクトルへの作用）。直接計算により、すべての $v \in \mathbb{R}^3$ に対して $X_u v = u \times v$ が示される。すなわち $X_u$ は $\mathbb{R}^3$ に「$u$ との外積をとる」操作として作用する。

ステップ3（括弧が外積と一致）。ステップ2を二回用いて、任意の $v$ に対して $[X_u,X_v]w = X_u(X_v w) - X_v(X_u w) = u\times(v\times w) - v\times(u\times w)$。ベクトルの三重積公式 $a\times(b\times c) = b(a\cdot c) - c(a\cdot b)$ を両項に適用して整理すると、右辺は任意の $w$ に対して $(u\times v)\times w = X_{u\times v} w$ に帰着し、演算子として $[X_u,X_v] = X_{u\times v}$ となる——これはまさに $\mathfrak{so}(3) \cong (\mathbb{R}^3, \times), \qquad [X_u, X_v] = X_{u \times v}$ である。

ステップ4（結論）。$u \mapsto X_u$ は外積を行列括弧に変える線形全単射であるから、リー代数の同型 $(\mathbb{R}^3,\times) \cong \mathfrak{so}(3)$ を与える。