ヒルベルト変換のL²有界性

ステップ1(正則化を通じて乗数を求める)。核 $1/(\pi x)$ は可積分ではないので近似する: $\epsilon>0$ に対して $k_\epsilon(x) = \frac{1}{\pi}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}$ と置く。これは奇関数で可積分な近似であり、 $\epsilon\to 0$ のとき主値核へ収束する。直接計算(留数積分または公式集)により $\hat k_\epsilon(\xi) = -i\,\operatorname{sgn}(\xi)\, e^{-2\pi\epsilon|\xi|}$ が得られる。

ステップ2(極限へ移行する)。 $\epsilon \to 0^+$ のとき、固定した各 $\xi \ne 0$ について $e^{-2\pi\epsilon|\xi|} \to 1$ であり、良い $f$ について $k_\epsilon * f \to Hf$ となる。畳み込み定理の中で極限をとると、乗数の等式 $\widehat{Hf}(\xi) = -i\,\operatorname{sgn}(\xi)\, \hat f(\xi)$ が得られる:ヒルベルト変換は周波数側で $-i\,\operatorname{sgn}(\xi)$ を掛けるという形で作用する。

ステップ3(プランシュレルの定理を適用する)。 $|-i\,\operatorname{sgn}(\xi)| = 1$ が(測度ゼロの一点を除く)すべての $\xi \ne 0$ で成り立つので、ほとんどすべての $\xi$ について $|\widehat{Hf}(\xi)|^2 = |\hat f(\xi)|^2$ となる。両辺を積分してプランシュレルの定理を用いると $\|Hf\|_{L^2} = \|f\|_{L^2}$ が得られる:ヒルベルト変換は $L^2(\mathbb{R})$ 上の等長写像であり、特に有界である。