特異積分とカルデロン=ジグムント理論

これはあらゆる一般的なカルデロン–ジグムントの定理が拠り所とする基本ケースである: $L^1$ や $L^p$ 上で特異積分作用素を制御する前に、まず $L^2$ 上でよく振る舞うことが必要であり、そこではプランシュレルの定理によりフーリエ変換を通じた直接的なアクセスが得られる。

ステップ1(正則化を通じて乗数を求める)。核 $1/(\pi x)$ は可積分ではないので近似する: $\epsilon>0$ に対して $k_\epsilon(x) = \frac{1}{\pi}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}$ と置く。これは奇関数で可積分な近似であり、 $\epsilon\to 0$ のとき主値核へ収束する。直接計算(留数積分または公式集)により $\hat k_\epsilon(\xi) = -i\,\operatorname{sgn}(\xi)\, e^{-2\pi\epsilon|\xi|}$ が得られる。

ステップ2(極限へ移行する)。 $\epsilon \to 0^+$ のとき、固定した各 $\xi \ne 0$ について $e^{-2\pi\epsilon|\xi|} \to 1$ であり、良い $f$ について $k_\epsilon * f \to Hf$ となる。畳み込み定理の中で極限をとると、乗数の等式 $\widehat{Hf}(\xi) = -i\,\operatorname{sgn}(\xi)\, \hat f(\xi)$ が得られる:ヒルベルト変換は周波数側で $-i\,\operatorname{sgn}(\xi)$ を掛けるという形で作用する。

ステップ3(プランシュレルの定理を適用する)。 $|-i\,\operatorname{sgn}(\xi)| = 1$ が(測度ゼロの一点を除く)すべての $\xi \ne 0$ で成り立つので、ほとんどすべての $\xi$ について $|\widehat{Hf}(\xi)|^2 = |\hat f(\xi)|^2$ となる。両辺を積分してプランシュレルの定理を用いると $\|Hf\|_{L^2} = \|f\|_{L^2}$ が得られる:ヒルベルト変換は $L^2(\mathbb{R})$ 上の等長写像であり、特に有界である。

この一つの定理が、特異積分——その核が絶対可積分でないにもかかわらず——がほとんどすべての $L^p$ 空間上で通常の有界作用素のように振る舞う理由を説明する:唯一の犠牲は端点 $p=1$ であり、そこでは有界性が強い型から単なる弱い型へと弱まる。

ステップ1(カルデロン–ジグムント分解)。 $f \in L^1$ と $\lambda>0$ を固定する。二進立方体上の停止時刻論法(同値に、ハーディ–リトルウッド極大関数 $Mf$)を用いて、 $f = g + b$ と分解する。ここで『良い』部分は $\|g\|_\infty \le C\lambda$ と $\|g\|_1 \le \|f\|_1$ を満たし、『悪い』部分 $b = \sum_j b_j$ は互いに素な二進立方体 $Q_j$ 上に台を持ち平均ゼロ $\int_{Q_j} b_j = 0$ であるピースの和で、総測度は $\sum_j |Q_j| \le \frac{C}{\lambda}\|f\|_1$ を満たす(これはまさに停止立方体に適用した $M$ の弱(1,1)評価である)。

ステップ2(良い部分)。 $T$ は $L^2$ 上で有界であり、 $\|g\|_2^2 \le \|g\|_\infty \|g\|_1 \le C\lambda\|f\|_1$ なので、チェビシェフの不等式により $|\{|Tg| > \lambda/2\}| \le \frac{4}{\lambda^2}\|Tg\|_2^2 \le \frac{C}{\lambda}\|f\|_1$ が得られる:良い部分だけですでに弱(1,1)評価を満たす。

ステップ3(悪い部分、2倍立方体の外側)。 $Q_j^*$ を $Q_j$ と中心が同じで辺の長さが2倍の立方体とする;和集合 $\bigcup_j Q_j^*$ の測度もまた $\frac{C}{\lambda}\|f\|_1$ 以下である。 $Q_j^*$ の外側では、 $b_j$ の平均ゼロ条件により核から定数を引くことができる: $Q_j$ の中心を $c_j$ として $Tb_j(x) = \int_{Q_j} \big(K(x-y)-K(x-c_j)\big) b_j(y)\,dy$ となり、ヘルマンダーの滑らかさ評価 $|K(x)| \le \dfrac{C}{|x|^n}, \qquad |\nabla K(x)| \le \dfrac{C}{|x|^{n+1}}$ により、この差は $\int_{(Q_j^*)^c} |Tb_j(x)|\,dx \le C\|b_j\|_1$ となるほど十分小さいことが示される。

ステップ4(まとめる)。ステップ3を $j$ について足し合わせ、2倍立方体の外側でチェビシェフを適用すると $\big|\{x \notin \bigcup_j Q_j^* : |Tb(x)|>\lambda/2\}\big| \le \frac{C}{\lambda}\sum_j \|b_j\|_1 \le \frac{C}{\lambda}\|f\|_1$ となる。ステップ1の $\bigcup_j Q_j^*$ の測度を加えると、悪い部分もレベル集合に $O(\|f\|_1/\lambda)$ だけ寄与し、ステップ2の良い部分と合わせると完全な評価 $\big|\{x : |Tf(x)| > \lambda\}\big| \le \dfrac{C}{\lambda}\|f\|_{L^1}$ が得られる。