位数公式(valence formula)

標準基本領域 $\mathcal{F}=\{\tau\in\mathbb{H} : |\operatorname{Re}(\tau)|\le \tfrac12,\ |\tau|\ge 1\}$ を固定する。下側境界に頂点 $\rho=e^{i\pi/3}$、$\rho+1$、$i$ を持ち、上方は尖点 $\infty$ まで延びる。大きな $T$ で高さ $\operatorname{Im}(\tau)=T$ で切り、$\partial\mathcal{F}$ 上にたまたま位置する $f$ の零点の周りを小さな円弧で切り欠く。得られた輪郭を $C$ とする。$f$ はこの有界領域内に有限個の零点しか持たないため、偏角の原理より $\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f'(\tau)}{f(\tau)}\,d\tau$ は $C$ の内部にある $f$ の零点の個数に等しい。

次に $\partial\mathcal{F}$ の各部分を評価する。二つの垂直辺 $\operatorname{Re}(\tau)=-\tfrac12$ と $\operatorname{Re}(\tau)=\tfrac12$ は $T:\tau\mapsto\tau+1$ によって同一視され、$f(\tau+1)=f(\tau)$ なので被積分関数 $f'/f$ も周期 $1$ を持つ。逆向きに辿る(一方は上向き、同一視される辺は下向き)ため、これら二つの積分は正確に打ち消し合う。ここで平行移動対称性がその効果を発揮する:輪郭の二辺をただで取り除くのである。

高さ $T$ の上辺は $T\to\infty$ で閉じる:$f=\sum_{n\ge m}a_nq^n$($m=\operatorname{ord}_\infty(f)$、$a_m\ne0$)と書けば、$q\to0$ で $f'/f \to 2\pi i\,m$ となるので、この辺は合計に $-\operatorname{ord}_\infty(f)$ を寄与する(負符号は上部で左向きに進む輪郭の向きによる)。

残るのは下側境界である:$|\tau|=1$ に沿った $\rho$ から $i$ への弧、$i$ から $\rho+1$ への弧、および $\rho$ から左上隅へ、$\rho+1$ から下への短い垂直線分。反転 $S:\tau\mapsto-1/\tau$ は $i$ を通る弧をそれ自身に写し($S(i)=i$ なので)、円弧の二つの半分を入れ替える。$S$ が $i$ を固定し、$i$ の近傍を角度 $\pi$ 回転させる($\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ における $i$ の安定化群は位数 $2$)ため、$i$ 周りの小さな切り欠きは完全な $-\operatorname{ord}_i(f)$ ではなく $-\tfrac12\operatorname{ord}_i(f)$ のみを寄与する:$S$ 対称性が残りを同一視する前に、完全な留数の「半分」しか実際には掃かれないのである。同様に $\rho$ と $\rho+1=S T^{-1}(\rho)$ は $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ における位数 $3$ の安定化群($ST$ で生成、位数 $3$)により同一視されるため、両者を合わせた切り欠きは $-\tfrac13\operatorname{ord}_\rho(f)$ を寄与する。弧の残りの一般的な部分にある他の任意の零点 $P$ は自明な安定化群を持ち、完全な $-\operatorname{ord}_P(f)$ を寄与する。

すべてを足し合わせると:垂直辺は打ち消し合い、上辺は $-\operatorname{ord}_\infty(f)$、隅は $-\tfrac12\operatorname{ord}_i(f)-\tfrac13\operatorname{ord}_\rho(f)$、残りの境界上の零点 $P$ は $-\operatorname{ord}_P(f)$ を与える。しかし $\frac{1}{2\pi i}\oint_C f'/f\,d\tau$ は $\tfrac{k}{12}$ にも等しくなければならない:この定数は、重さ $k$ の保型因子 $(c\tau+d)^k$ が、同一視された二つの隅の弧($S$ で関連付けられ、$d\tau\mapsto \tau^{-2}d\tau$ となり $k$ に支配される巻き数を拾う)周りの $\arg f$ の総回転を正味 $k/12$ に強制することから来る——$\mathcal{F}$ の双曲面積が $\pi/3$ であり $X(1)$ がちょうど一つの尖点と位数 $2,3$ の楕円点を持つために現れるのと同じ定数であり、これが公式の中の $12$ を支えるリーマン・フルヴィッツの勘定である。同じ輪郭積分の二通りの計算を等置し、すべての零点位数の項を一方に移すと、まさに $\operatorname{ord}_\infty(f)+\tfrac12\operatorname{ord}_i(f)+\tfrac13\operatorname{ord}_\rho(f)+\sum_{P}\operatorname{ord}_P(f) = \tfrac{k}{12}$ が得られる。