← 戻る ライブラリ › 算術と数論 › 代数的数論 算術と数論
モジュラー形式 フェルマーの最終定理の証明の中心を成す、上半平面上の高度に対称な複素関数。
直観 上半平面上の万華鏡 上半平面 H = { τ ∈ C : Im ( τ ) > 0 } \mathbb{H} = \{\tau \in \mathbb{C} : \operatorname{Im}(\tau) > 0\} H = { τ ∈ C : Im ( τ ) > 0 } 1 1 1 2 × 2 2\times2 2 × 2 S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) τ ↦ ( a τ + b ) / ( c τ + d ) \tau \mapsto (a\tau+b)/(c\tau+d) τ ↦ ( a τ + b ) / ( c τ + d ) H \mathbb{H} H モジュラー形式 とは、この敷き詰めを制御された仕方で尊重する関数である:各タイルでそのまま繰り返すのではなく、毎回正確で予測可能な因子を拾い上げる。
標本となる複素関数の定義域彩色。モジュラー形式も同様に豊かな複素解析的構造を持つが、S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) 中高 身近な親戚:周期関数 高校の三角法では、sin \sin sin cos \cos cos 一つ の対称性 x ↦ x + 2 π x \mapsto x+2\pi x ↦ x + 2 π 二つ の変換で生成される:T : τ ↦ τ + 1 T:\tau\mapsto\tau+1 T : τ ↦ τ + 1 x ↦ x + 2 π x\mapsto x+2\pi x ↦ x + 2 π S : τ ↦ − 1 / τ S:\tau\mapsto -1/\tau S : τ ↦ − 1/ τ S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) S S S T T T 2 π 2\pi 2 π sin \sin sin
大学 正確な定義 定義: 重さ k k k
正則関数 f : H → C f:\mathbb{H}\to\mathbb{C} f : H → C S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) k k k k ≥ 4 k \ge 4 k ≥ 4 ( a b c d ) ∈ S L 2 ( Z ) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) ( a c b d ) ∈ SL 2 ( Z ) Im ( τ ) → ∞ \operatorname{Im}(\tau)\to\infty Im ( τ ) → ∞ q = e 2 π i τ q=e^{2\pi i\tau} q = e 2 π i τ q q q a 0 a_0 a 0 f f f 尖点形式 と呼ばれる。
f ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) k f ( τ ) f\!\left(\dfrac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^k f(\tau) f ( c τ + d a τ + b ) = ( c τ + d ) k f ( τ ) ここで ( a b c d ) ∈ S L 2 ( Z ) , a d − b c = 1 \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}),\ ad-bc=1 ( a c b d ) ∈ SL 2 ( Z ) , a d − b c = 1 ( c τ + d ) k (c\tau+d)^k ( c τ + d ) k 保型因子 ——こそがモジュラー形式が単なる S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) c = 0 , d = 1 c=0,d=1 c = 0 , d = 1 T b T^b T b f ( τ + b ) = f ( τ ) f(\tau+b)=f(\tau) f ( τ + b ) = f ( τ ) 1 1 1 f f f
f ( τ ) = ∑ n = 0 ∞ a n q n , q = e 2 π i τ f(\tau) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n q^n, \qquad q = e^{2\pi i \tau} f ( τ ) = n = 0 ∑ ∞ a n q n , q = e 2 π i τ S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) 対象 重さ k k k H \mathbb{H} H 尖点 ∞ \infty ∞ 最初のフーリエ係数 E 4 E_4 E 4 4 4 4 はい 正則、a 0 = 1 a_0=1 a 0 = 1 a 1 = 240 a_1=240 a 1 = 240 E 6 E_6 E 6 6 6 6 はい 正則、a 0 = 1 a_0=1 a 0 = 1 a 1 = − 504 a_1=-504 a 1 = − 504 Δ \Delta Δ 12 12 12 はい 尖点形式、a 0 = 0 a_0=0 a 0 = 0 a 1 = 1 a_1=1 a 1 = 1 j j j 0 0 0 はい(有理型関数) 単純極、j ∼ q − 1 j\sim q^{-1} j ∼ q − 1 a 0 = 744 a_0=744 a 0 = 744
f f f S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) k k k H / S L 2 ( Z ) \mathbb{H}/\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) H / SL 2 ( Z ) ord P ( f ) \operatorname{ord}_P(f) ord P ( f ) P P P f f f
なぜ正しいのか? これは「n n n n n n f f f X ( 1 ) = H ∗ / S L 2 ( Z ) ≅ P 1 ( C ) X(1)=\mathbb{H}^*/\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\cong\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) X ( 1 ) = H ∗ / SL 2 ( Z ) ≅ P 1 ( C ) k / 12 k/12 k /12 1 2 , 1 3 \tfrac12,\tfrac13 2 1 , 3 1 i i i ρ = e i π / 3 \rho=e^{i\pi/3} ρ = e iπ /3 S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3
証明 標準基本領域 F = { τ ∈ H : ∣ Re ( τ ) ∣ ≤ 1 2 , ∣ τ ∣ ≥ 1 } \mathcal{F}=\{\tau\in\mathbb{H} : |\operatorname{Re}(\tau)|\le \tfrac12,\ |\tau|\ge 1\} F = { τ ∈ H : ∣ Re ( τ ) ∣ ≤ 2 1 , ∣ τ ∣ ≥ 1 } ρ = e i π / 3 \rho=e^{i\pi/3} ρ = e iπ /3 ρ + 1 \rho+1 ρ + 1 i i i ∞ \infty ∞ T T T Im ( τ ) = T \operatorname{Im}(\tau)=T Im ( τ ) = T ∂ F \partial\mathcal{F} ∂ F f f f C C C f f f 1 2 π i ∮ C f ′ ( τ ) f ( τ ) d τ \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f'(\tau)}{f(\tau)}\,d\tau 2 π i 1 ∮ C f ( τ ) f ′ ( τ ) d τ C C C f f f
次に ∂ F \partial\mathcal{F} ∂ F Re ( τ ) = − 1 2 \operatorname{Re}(\tau)=-\tfrac12 Re ( τ ) = − 2 1 Re ( τ ) = 1 2 \operatorname{Re}(\tau)=\tfrac12 Re ( τ ) = 2 1 T : τ ↦ τ + 1 T:\tau\mapsto\tau+1 T : τ ↦ τ + 1 f ( τ + 1 ) = f ( τ ) f(\tau+1)=f(\tau) f ( τ + 1 ) = f ( τ ) f ′ / f f'/f f ′ / f 1 1 1
高さ T T T T → ∞ T\to\infty T → ∞ f = ∑ n ≥ m a n q n f=\sum_{n\ge m}a_nq^n f = ∑ n ≥ m a n q n m = ord ∞ ( f ) m=\operatorname{ord}_\infty(f) m = ord ∞ ( f ) a m ≠ 0 a_m\ne0 a m = 0 q → 0 q\to0 q → 0 f ′ / f → 2 π i m f'/f \to 2\pi i\,m f ′ / f → 2 π i m − ord ∞ ( f ) -\operatorname{ord}_\infty(f) − ord ∞ ( f )
残るのは下側境界である:∣ τ ∣ = 1 |\tau|=1 ∣ τ ∣ = 1 ρ \rho ρ i i i i i i ρ + 1 \rho+1 ρ + 1 ρ \rho ρ ρ + 1 \rho+1 ρ + 1 S : τ ↦ − 1 / τ S:\tau\mapsto-1/\tau S : τ ↦ − 1/ τ i i i S ( i ) = i S(i)=i S ( i ) = i S S S i i i i i i π \pi π P S L 2 ( Z ) \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) PSL 2 ( Z ) i i i 2 2 2 i i i − ord i ( f ) -\operatorname{ord}_i(f) − ord i ( f ) − 1 2 ord i ( f ) -\tfrac12\operatorname{ord}_i(f) − 2 1 ord i ( f ) S S S ρ \rho ρ ρ + 1 = S T − 1 ( ρ ) \rho+1=S T^{-1}(\rho) ρ + 1 = S T − 1 ( ρ ) P S L 2 ( Z ) \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) PSL 2 ( Z ) 3 3 3 S T ST S T 3 3 3 − 1 3 ord ρ ( f ) -\tfrac13\operatorname{ord}_\rho(f) − 3 1 ord ρ ( f ) P P P − ord P ( f ) -\operatorname{ord}_P(f) − ord P ( f )
すべてを足し合わせると:垂直辺は打ち消し合い、上辺は − ord ∞ ( f ) -\operatorname{ord}_\infty(f) − ord ∞ ( f ) − 1 2 ord i ( f ) − 1 3 ord ρ ( f ) -\tfrac12\operatorname{ord}_i(f)-\tfrac13\operatorname{ord}_\rho(f) − 2 1 ord i ( f ) − 3 1 ord ρ ( f ) P P P − ord P ( f ) -\operatorname{ord}_P(f) − ord P ( f ) 1 2 π i ∮ C f ′ / f d τ \frac{1}{2\pi i}\oint_C f'/f\,d\tau 2 π i 1 ∮ C f ′ / f d τ k 12 \tfrac{k}{12} 12 k k k k ( c τ + d ) k (c\tau+d)^k ( c τ + d ) k S S S d τ ↦ τ − 2 d τ d\tau\mapsto \tau^{-2}d\tau d τ ↦ τ − 2 d τ k k k arg f \arg f arg f k / 12 k/12 k /12 F \mathcal{F} F π / 3 \pi/3 π /3 X ( 1 ) X(1) X ( 1 ) 2 , 3 2,3 2 , 3 12 12 12 ord ∞ ( f ) + 1 2 ord i ( f ) + 1 3 ord ρ ( f ) + ∑ P ord P ( f ) = k 12 \operatorname{ord}_\infty(f)+\tfrac12\operatorname{ord}_i(f)+\tfrac13\operatorname{ord}_\rho(f)+\sum_{P}\operatorname{ord}_P(f) = \tfrac{k}{12} ord ∞ ( f ) + 2 1 ord i ( f ) + 3 1 ord ρ ( f ) + ∑ P ord P ( f ) = 12 k
ord ∞ ( f ) + 1 2 ord i ( f ) + 1 3 ord ρ ( f ) + ∑ P ≠ i , ρ , ∞ ord P ( f ) = k 12 \operatorname{ord}_\infty(f) + \tfrac{1}{2}\operatorname{ord}_i(f) + \tfrac{1}{3}\operatorname{ord}_\rho(f) + \sum_{P \ne i,\rho,\infty} \operatorname{ord}_P(f) = \dfrac{k}{12} ord ∞ ( f ) + 2 1 ord i ( f ) + 3 1 ord ρ ( f ) + P = i , ρ , ∞ ∑ ord P ( f ) = 12 k 重さ 4 4 4 6 6 6 E 4 , E 6 E_4,E_6 E 4 , E 6 1 1 1 Δ \Delta Δ Δ \Delta Δ 12 12 12 H \mathbb{H} H ∞ \infty ∞ dim M 4 ( S L 2 ( Z ) ) = 1 \dim M_4(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))=1 dim M 4 ( SL 2 ( Z )) = 1
なぜ正しいのか? この一つの計算だけで、重さ 12 12 12 Δ \Delta Δ 1 1 1 Δ \Delta Δ H \mathbb{H} H j j j j = E 4 3 / Δ j=E_4^3/\Delta j = E 4 3 /Δ H \mathbb{H} H C \mathbb{C} C
証明 まず正則性と重さについて:E 4 , E 6 E_4,E_6 E 4 , E 6 4 , 6 4,6 4 , 6 E 4 3 E_4^3 E 4 3 E 6 2 E_6^2 E 6 2 12 12 12 1 1 1 E 4 3 − E 6 2 E_4^3-E_6^2 E 4 3 − E 6 2 12 12 12 Δ = ( E 4 3 − E 6 2 ) / 1728 \Delta=(E_4^3-E_6^2)/1728 Δ = ( E 4 3 − E 6 2 ) /1728 ord ∞ ( Δ ) ≥ 1 \operatorname{ord}_\infty(\Delta)\ge1 ord ∞ ( Δ ) ≥ 1
ここで上で証明した位数公式を k = 12 k=12 k = 12 Δ \Delta Δ 12 / 12 = 1 12/12=1 12/12 = 1 ord ∞ ( Δ ) \operatorname{ord}_\infty(\Delta) ord ∞ ( Δ ) 1 2 ord i ( Δ ) \tfrac12\operatorname{ord}_i(\Delta) 2 1 ord i ( Δ ) 1 3 ord ρ ( Δ ) \tfrac13\operatorname{ord}_\rho(\Delta) 3 1 ord ρ ( Δ ) ord P ( Δ ) \operatorname{ord}_P(\Delta) ord P ( Δ ) ord ∞ ( Δ ) ≥ 1 \operatorname{ord}_\infty(\Delta)\ge1 ord ∞ ( Δ ) ≥ 1 ≥ 1 \ge1 ≥ 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ord ∞ ( Δ ) = 1 \operatorname{ord}_\infty(\Delta)=1 ord ∞ ( Δ ) = 1 P ∈ H P\in\mathbb{H} P ∈ H ord P ( Δ ) = 0 \operatorname{ord}_P(\Delta)=0 ord P ( Δ ) = 0 Δ \Delta Δ H \mathbb{H} H
次元の主張について:g g g 12 12 12 g / Δ g/\Delta g /Δ S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) 12 − 12 = 0 12-12=0 12 − 12 = 0 Δ \Delta Δ H \mathbb{H} H g g g Δ \Delta Δ q q q 1 1 1 Δ \Delta Δ 1 1 1 q = 0 q=0 q = 0 H \mathbb{H} H 0 0 0 X ( 1 ) ≅ P 1 ( C ) X(1)\cong\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) X ( 1 ) ≅ P 1 ( C ) g = c ⋅ Δ g=c\cdot\Delta g = c ⋅ Δ c c c 12 12 12 1 1 1 4 4 4 4 / 12 = 1 / 3 4/12=1/3 4/12 = 1/3 ord ρ = 1 \operatorname{ord}_\rho=1 ord ρ = 1 0 0 0 ord ∞ \operatorname{ord}_\infty ord ∞ 1 / 3 1/3 1/3 4 4 4 ρ \rho ρ 1 1 1 E 4 E_4 E 4 dim M 4 ( S L 2 ( Z ) ) = 1 \dim M_4(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))=1 dim M 4 ( SL 2 ( Z )) = 1
最後に、q q q Δ ( τ ) = q ∏ n ≥ 1 ( 1 − q n ) 24 \Delta(\tau)=q\prod_{n\ge1}(1-q^n)^{24} Δ ( τ ) = q ∏ n ≥ 1 ( 1 − q n ) 24 q = 0 q=0 q = 0 1 1 1 0 < ∣ q ∣ < 1 0<|q|<1 0 < ∣ q ∣ < 1
Δ ( τ ) = q ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) 24 \Delta(\tau) = q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)^{24} Δ ( τ ) = q n = 1 ∏ ∞ ( 1 − q n ) 24 大学 実世界での応用と具体例 モジュラー形式は抽象的に聞こえるが、その極端な硬直性——わずかなフーリエ係数が関数全体を決定づける——により、物理量や組合せ論的量がたまたま同じ隠れた対称性の下で同じように変換される場所ならどこでも精密な道具となる。これが起こる二つの具体例:共形場理論(弦理論と2次元臨界現象の背後にある物理学)、そして符号理論と球充填で使われる格子の理論である。
例: カーディの公式:2次元共形場理論における状態数え上げ
中心電荷 c c c Z ( τ ) Z(\tau) Z ( τ ) 0 0 0 S : τ ↦ − 1 / τ S:\tau\mapsto-1/\tau S : τ ↦ − 1/ τ Z ( τ ) = Tr q Δ − c / 24 Z(\tau)=\operatorname{Tr}\,q^{\Delta-c/24} Z ( τ ) = Tr q Δ − c /24 Δ \Delta Δ ρ ( Δ ) \rho(\Delta) ρ ( Δ ) q = e 2 π i τ q=e^{2\pi i\tau} q = e 2 π i τ S S S τ → 0 \tau\to0 τ → 0 Z Z Z Δ \Delta Δ ρ ( Δ ) \rho(\Delta) ρ ( Δ )
解答 Z ( τ ) = ∑ Δ ρ ( Δ ) q Δ − c / 24 Z(\tau)=\sum_\Delta \rho(\Delta)\,q^{\Delta-c/24} Z ( τ ) = ∑ Δ ρ ( Δ ) q Δ − c /24 S S S Z ( − 1 / τ ) = Z ( τ ) Z(-1/\tau)=Z(\tau) Z ( − 1/ τ ) = Z ( τ ) 0 0 0 τ → i 0 + \tau\to i0^+ τ → i 0 + − 1 / τ → i ∞ -1/\tau\to i\infty − 1/ τ → i ∞ Z Z Z Δ = 0 \Delta=0 Δ = 0 Z ( − 1 / τ ) ≈ e 2 π i ( − 1 / τ ) ( − c / 24 ) = e π i c / ( 12 τ ) Z(-1/\tau)\approx e^{2\pi i(-1/\tau)(-c/24)} = e^{\pi i c/(12\tau)} Z ( − 1/ τ ) ≈ e 2 π i ( − 1/ τ ) ( − c /24 ) = e π i c / ( 12 τ )
小さな ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ > 0 τ = i ϵ \tau=i\epsilon τ = i ϵ q = e − 2 π ϵ → 1 − q=e^{-2\pi\epsilon}\to1^- q = e − 2 π ϵ → 1 − Δ \Delta Δ Z ( i ϵ ) ≈ e π c / ( 12 ϵ ) Z(i\epsilon)\approx e^{\pi c/(12\epsilon)} Z ( i ϵ ) ≈ e π c / ( 12 ϵ ) ϵ → 0 \epsilon\to0 ϵ → 0
一方、Z ( i ϵ ) = ∑ Δ ρ ( Δ ) e − 2 π ϵ ( Δ − c / 24 ) Z(i\epsilon)=\sum_\Delta\rho(\Delta)e^{-2\pi\epsilon(\Delta-c/24)} Z ( i ϵ ) = ∑ Δ ρ ( Δ ) e − 2 π ϵ ( Δ − c /24 ) ϵ \epsilon ϵ ρ ( Δ ) \rho(\Delta) ρ ( Δ ) e − 2 π ϵ Δ e^{-2\pi\epsilon\Delta} e − 2 π ϵ Δ ϵ \epsilon ϵ Δ \Delta Δ c c c
例: 球充填:E 8 E_8 E 8
E 8 E_8 E 8 8 8 8 8 8 8 Θ E 8 ( τ ) = ∑ v ∈ E 8 q ∥ v ∥ 2 / 2 \Theta_{E_8}(\tau)=\sum_{v\in E_8}q^{\|v\|^2/2} Θ E 8 ( τ ) = ∑ v ∈ E 8 q ∥ v ∥ 2 /2 S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) 4 4 4 dim M 4 ( S L 2 ( Z ) ) = 1 \dim M_4(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))=1 dim M 4 ( SL 2 ( Z )) = 1 E 8 E_8 E 8
解答 E 8 E_8 E 8 Θ E 8 \Theta_{E_8} Θ E 8 H \mathbb{H} H ∞ \infty ∞ rank ( E 8 ) / 2 = 8 / 2 = 4 \operatorname{rank}(E_8)/2=8/2=4 rank ( E 8 ) /2 = 8/2 = 4 Θ E 8 ( τ ) = 1 + N 2 q + ⋯ \Theta_{E_8}(\tau)=1+N_2q+\cdots Θ E 8 ( τ ) = 1 + N 2 q + ⋯ N 2 N_2 N 2 ∥ v ∥ 2 = 2 \|v\|^2=2 ∥ v ∥ 2 = 2 E 8 E_8 E 8 0 0 0 2 2 2
dim M 4 ( S L 2 ( Z ) ) = 1 \dim M_4(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))=1 dim M 4 ( SL 2 ( Z )) = 1 E 4 E_4 E 4 1 1 1 Θ E 8 \Theta_{E_8} Θ E 8 E 4 E_4 E 4 1 1 1 1 1 1 Θ E 8 ( τ ) = E 4 ( τ ) \Theta_{E_8}(\tau)=E_4(\tau) Θ E 8 ( τ ) = E 4 ( τ )
既知のフーリエ展開 E 4 ( τ ) = 1 + 240 ∑ n ≥ 1 σ 3 ( n ) q n E_4(\tau)=1+240\sum_{n\ge1}\sigma_3(n)q^n E 4 ( τ ) = 1 + 240 ∑ n ≥ 1 σ 3 ( n ) q n σ 3 ( 1 ) = 1 \sigma_3(1)=1 σ 3 ( 1 ) = 1 q 1 q^1 q 1 240 240 240 E 8 E_8 E 8 240 240 240 E 8 E_8 E 8 240 240 240 E 8 E_8 E 8 240 240 240
よくある誤り. **「モジュラー形式は S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) k = 0 k=0 k = 0 正しくない :正しい法則は f ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) k f ( τ ) f\!\left(\dfrac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^k f(\tau) f ( c τ + d a τ + b ) = ( c τ + d ) k f ( τ ) ( c τ + d ) k (c\tau+d)^k ( c τ + d ) k f ( ( a τ + b ) / ( c τ + d ) ) = f ( τ ) f((a\tau+b)/(c\tau+d))=f(\tau) f (( a τ + b ) / ( c τ + d )) = f ( τ ) モジュラー形式 は H \mathbb{H} H モジュラー関数 (j j j 0 0 0 有理型 であればよい——この二つの語は互換不可能である。 歴史的ノート
1880年代のポアンカレによる保型関数の研究は、H \mathbb{H} H Δ \Delta Δ τ ( n ) \tau(n) τ ( n ) ∣ τ ( p ) ∣ ≤ 2 p 11 / 2 |\tau(p)| \le 2p^{11/2} ∣ τ ( p ) ∣ ≤ 2 p 11/2
アンリ・ポアンカレ シュリニヴァーサ・ラマヌジャン アンドリュー・ワイルズ
研究の最前線 2026年時点
完全な保型性定理(すべての Q \mathbb{Q} Q 1 1 1 n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 Sym n f \operatorname{Sym}^n f Sym n f x p + y q = z r x^p+y^q=z^r x p + y q = z r L L L
重さ k k k f f f ( a b c d ) ∈ S L 2 ( Z ) \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) ( a c b d ) ∈ SL 2 ( Z )
f ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) k f ( τ ) f\!\left(\dfrac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^k f(\tau) f ( c τ + d a τ + b ) = ( c τ + d ) k f ( τ ) f ( a τ + b c τ + d ) = f ( τ ) f\!\left(\dfrac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = f(\tau) f ( c τ + d a τ + b ) = f ( τ ) f ( τ ) = f ( τ ) f(\tau)=f(\tau) f ( τ ) = f ( τ ) f ( τ + 1 ) = ( c τ + d ) k f ( τ ) f(\tau+1)=(c\tau+d)^k f(\tau) f ( τ + 1 ) = ( c τ + d ) k f ( τ ) 位数公式により、S L 2 ( Z ) \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) SL 2 ( Z ) k = 12 k=12 k = 12
1 1 1 12 12 12 1 12 \dfrac{1}{12} 12 1 6 6 6 dim M 4 ( S L 2 ( Z ) ) = 1 \dim M_4(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))=1 dim M 4 ( SL 2 ( Z )) = 1 E 8 E_8 E 8 E 4 E_4 E 4 q 1 q^1 q 1 E 8 E_8 E 8
240 240 240 196560 196560 196560 24 24 24 2 2 2 1995年のワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、ある種の楕円曲線が何であることを確立することに依拠していたか:
モジュラーである いたるところ超越的である 常に特異である いたるところ不分岐である