ラグランジュの平方完成による対角化

変数の個数 $n$ に関する帰納法で進める。$n=1$ の場合はすでに単一の項 $a_{11}x_1^2$ である。

$n > 1$ とし、形式全体が零なら示すことはない。そうでないとき、まずある対角係数が非零であると仮定する。変数の番号を付け替えることで $a_{11} \neq 0$ と仮定してよい。$x_1$ を含む項をすべてまとめると、$a_{11}x_1^2 + 2x_1(a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n)$ と、$x_2,\dots,x_n$ のみに依存する二次形式の和になる。

$y_1 = x_1 + \frac{a_{12}}{a_{11}}x_2 + \cdots + \frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n$ および $k \ge 2$ に対して $y_k = x_k$ とおくと、これは可逆な線形変数変換であり、$a_{11}y_1^2$ は $y_2,\dots,y_n$ のみに依存する剰余を除いて $x_1$ を含むすべての項と一致する。よって $Q = a_{11}y_1^2 + Q'(y_2,\dots,y_n)$ となる。

もしすべての対角成分が零（すべての $i$ で $a_{ii}=0$）であれば、$a_{12} \neq 0$ となる非零の交差項 $2a_{12}x_1 x_2$ を選ぶ。可逆な置換 $x_1 = u_1 + u_2$, $x_2 = u_1 - u_2$ によって $2a_{12}x_1 x_2$ は $2a_{12}(u_1^2 - u_2^2)$ に変わり、非零の対角係数が現れて前の場合に帰着する。$Q'(y_2,\dots,y_n)$ に帰納法の仮定を適用すれば対角化が完了する。