代数学

双線形形式と二次形式

2つのベクトル変数それぞれに線形、または1変数に二次である関数で、長さや角度を定義するのに使われる。

直観2つのベクトルで同時に形を測る

おなじみの内積 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ は2つのベクトルを受け取り、それぞれに線形な数を返す。双線形形式はこの発想を一般化したものであり、 $B(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \mathbf{u}^\top A \mathbf{v}$ 、行列 $A$ がベクトルを組み合わせる前にねじったり重み付けしたりすることを可能にする。同じベクトルを両方の枠に入れると二次形式 $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\top A \mathbf{x}$ となり、そのレベル集合 $Q(\mathbf{x})=c$ は $A$ の形に応じて楕円、双曲線、あるいは退化した直線を描く——学校で習った円錐曲線が、今や任意の次元で現れるのである。

2変数二次形式の曲面

z=Q(x,y)

:椀型なら正定値、鞍型なら不定符号、尾根型なら退化した方向が存在することを意味する。

中高内積から一般の双線形形式へ

定義: 双線形形式と二次形式

$\mathbb{R}^n$ 上の双線形形式とは、各変数について別々に線形な関数 $B(\mathbf{u},\mathbf{v})$ のことであり、座標では常に $n \times n$ 行列 $A$ を用いて $B(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \mathbf{u}^\top A \mathbf{v}$ と書ける。 $A^\top = A$ のときこの形式は対称であり、付随する二次形式は $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\top A \mathbf{x}$ である。逆に、任意の二次形式は偏極恒等式 $B(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \tfrac{1}{2}(Q(\mathbf{u}+\mathbf{v}) - Q(\mathbf{u}) - Q(\mathbf{v}))$ によってその対称双線形形式を一意に定めるので、常に $A$ を対称にとることができる。

B(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \mathbf{u}^\top A \mathbf{v}, \qquad Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\top A \mathbf{x}

$\mathbf{x} = P\mathbf{y}$ （ $P$ は可逆）によって基底を取り替えると、行列 $A$ は相似 $P^{-1}AP$ ではなく合同 $A' = P^\top A P$ によって置き換わる。 $A'$ が対角行列となる基底では、二次形式は純粋な平方和 $d_1 y_1^2 + \cdots + d_n y_n^2$ となり、正・負・零の係数の個数が符号数 $(n_+, n_-, n_0)$ を成す。

A' = P^\top A P, \qquad Q(P\mathbf{y}) = d_1 y_1^2 + \cdots + d_n y_n^2

符号数による実二次形式の分類
種類	符号数 $(n_+, n_-, n_0)$ と幾何
正定値（ $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ で $Q(\mathbf{x})>0$ ）	$(n,0,0)$ ;レベル集合は楕円面、グラフは上向きの椀
負定値（ $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ で $Q(\mathbf{x})<0$ ）	$(0,n,0)$ ;レベル集合は楕円面、グラフは下向きのドーム
不定符号（両方の符号をとる）	$n_+>0$ かつ $n_->0$ ;レベル集合は双曲面、グラフは鞍型
半定値 / 退化	$n_0>0$ ; $Q$ が消える平坦な方向があり、レベル集合は柱面になる

大学対角化とシルヴェスターの慣性法則

定理: ラグランジュの平方完成による対角化

すべての実二次形式 $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\top A \mathbf{x}$ は、可逆な線形変数変換 $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ によって純粋な対角形 $d_1 y_1^2 + \cdots + d_n y_n^2$ に帰着できる。

なぜ正しいのか?

二次形式を対角化するのに固有値すら必要ない。高校で習う通常の平方完成を1変数ずつ順番に適用するだけで、すべての交差項 $x_i x_j$ を平方の中に吸収できる。

証明

変数の個数 $n$ に関する帰納法で進める。 $n=1$ の場合はすでに単一の項 $a_{11}x_1^2$ である。

$n > 1$ とし、形式全体が零なら示すことはない。そうでないとき、まずある対角係数が非零であると仮定する。変数の番号を付け替えることで $a_{11} \neq 0$ と仮定してよい。 $x_1$ を含む項をすべてまとめると、 $a_{11}x_1^2 + 2x_1(a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n)$ と、 $x_2,\dots,x_n$ のみに依存する二次形式の和になる。

$y_1 = x_1 + \frac{a_{12}}{a_{11}}x_2 + \cdots + \frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n$ および $k \ge 2$ に対して $y_k = x_k$ とおくと、これは可逆な線形変数変換であり、 $a_{11}y_1^2$ は $y_2,\dots,y_n$ のみに依存する剰余を除いて $x_1$ を含むすべての項と一致する。よって $Q = a_{11}y_1^2 + Q'(y_2,\dots,y_n)$ となる。

もしすべての対角成分が零（すべての $i$ で $a_{ii}=0$ ）であれば、 $a_{12} \neq 0$ となる非零の交差項 $2a_{12}x_1 x_2$ を選ぶ。可逆な置換 $x_1 = u_1 + u_2$ , $x_2 = u_1 - u_2$ によって $2a_{12}x_1 x_2$ は $2a_{12}(u_1^2 - u_2^2)$ に変わり、非零の対角係数が現れて前の場合に帰着する。 $Q'(y_2,\dots,y_n)$ に帰納法の仮定を適用すれば対角化が完了する。

定理: シルヴェスターの慣性法則

$\mathbb{R}^n$ 上の実二次形式 $Q$ を対角化するのにどのような可逆な基底変換を用いても、正の係数の個数 $n_+$ 、負の係数の個数 $n_-$ 、零の係数の個数 $n_0$ は常に同じである。三つ組 $(n_+, n_-, n_0)$ は $Q$ の内在的な不変量である。

なぜ正しいのか?

新しい座標系に移ると軸が伸縮して対角成分 $d_i$ の個々の大きさは変わり得るが、平坦な方向を通らずに上向きに曲がる方向を下向きに曲がる方向へ変えることは決してできない——したがって上向き・下向き・平坦な軸の本数は永遠に固定されている。

証明

$Q$ が2つの基底 $\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}$ と $\{\mathbf{f}_1,\dots,\mathbf{f}_n\}$ で対角化され、正・負・零の個数が第1の基底では $(n_+, n_-, n_0)$ 、第2の基底では $(p_+, p_-, p_0)$ であるとする。各基底を、正の係数が最初、次に負、最後に零となるよう並べる。

背理法のため $n_+ > p_+$ と仮定する。 $V_+ = \mathrm{span}(\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_{n_+})$ とおくと、これは次元 $n_+$ の部分空間であり、非零のすべての $\mathbf{x} \in V_+$ に対して $Q(\mathbf{x}) > 0$ が成り立つ（ $V_+$ 上では $\mathbf{e}$ 展開の正の平方項のみが生き残るため）。

同様に $W_- = \mathrm{span}(\mathbf{f}_{p_+ + 1},\dots,\mathbf{f}_n)$ とおくと、これは次元 $n - p_+$ の部分空間であり、すべての $\mathbf{x} \in W_-$ に対して $Q(\mathbf{x}) \le 0$ が成り立つ（ $W_-$ 上では $\mathbf{f}$ 展開の負と零の平方項のみが生き残るため）。

ここで $\mathbb{R}^n$ 内の次元を数える: $n_+ > p_+$ より $\dim V_+ + \dim W_- = n_+ + (n - p_+) > n$ である。部分空間の次元公式により、次元の和が $n$ を超える2つの部分空間は自明な交わりしか持たないということはあり得ず、したがって非零ベクトル $\mathbf{v} \in V_+ \cap W_-$ が存在する。

$\mathbf{v} \in V_+$ かつ $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ より $Q(\mathbf{v}) > 0$ でなければならず、同時に $\mathbf{v} \in W_-$ より $Q(\mathbf{v}) \le 0$ でなければならず、真っ向から矛盾する。したがって $n_+ \le p_+$ であり、2つの基底の対称性から $p_+ \le n_+$ も言えるので $n_+ = p_+$ である。 $-Q$ に全く同じ議論を適用すれば $n_- = p_-$ が得られ、最後に $n_0 = n - n_+ - n_- = p_0$ となる。

大学実世界での応用と具体例

二次形式とその符号数は、多変数関数の臨界点が極小・極大・鞍点のいずれであるかを決定し、特殊相対性理論における時空の因果構造を記述する。

例: ヘッセ二次形式による二階微分判定法

$f(x,y) = x^2 + 4xy + y^2$ の臨界点 $(0,0)$ を、その二次形式の符号数を求めることで分類せよ。

解答

$(0,0)$ の近くでこの関数はすでに純粋な二次形式 $Q(x,y) = x^2 + 4xy + y^2$ であり、その対称行列は $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ である（非対角成分は $xy$ の係数の半分であることに注意）。

$x$ について平方完成すると、 $x^2 + 4xy + y^2 = (x + 2y)^2 - 4y^2 + y^2 = (x + 2y)^2 - 3y^2$ となる。新しい座標 $u = x + 2y$ , $v = y$ では、これは $u^2 - 3v^2$ である。

正の平方が1つ（ $+u^2$ ）、負の平方が1つ（ $-3v^2$ ）あるので、符号数は $(1,1,0)$ であり、この形式は不定符号である。 $v=0$ に沿っては $+u^2$ のように上向きに曲がり、 $u=0$ に沿っては $-3v^2$ のように下向きに曲がるので、 $(0,0)$ は鞍点であり、極小でも極大でもない。

例: ミンコフスキー時空の間隔と因果的符号数

特殊相対性理論（ $c=1$ とする）において、事象 $(t,x,y,z)$ と原点の間の時空間隔は二次形式 $s^2 = t^2 - x^2 - y^2 - z^2$ で与えられる。その符号数を求め、2つの事象が因果的に結びつき得るかどうかについてすべての慣性観測者が一致する理由をシルヴェスターの法則から説明せよ。

解答

形式 $s^2 = t^2 - x^2 - y^2 - z^2$ はすでに対角形であり、行列は $\eta = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ である: $+1$ が1つと $-1$ が3つあるので、その符号数は $(1,3,0)$ であり、ユークリッド距離のような正定値ではなく不定符号である。

$s^2 > 0$ の事象（時間的隔たり）は光円錐の内部にあり、光より遅い信号で結ぶことができる。 $s^2 < 0$ の事象（空間的隔たり）は外部にあり互いに影響できない。 $s^2 = 0$ の事象（光的）は光線によってのみ結ばれる。

ある慣性観測者から別の慣性観測者への切り替えは形式 $s^2$ を保つ線形座標変換（ローレンツ変換）であり、シルヴェスターの慣性法則により符号数 $(1,3,0)$ ——時間方向1つと空間方向3つ——はいかなる可逆な座標変換によっても変えられない。結果として $s^2$ の符号は不変であり、どの事象の組が時間的・空間的・光的であるかについてすべての観測者が一致する。

二次形式 $Q(x,y) = 3x^2 - 6xy + 5y^2$ に付随する対称行列 $A$ はどれか。

$Q(x,y) = x^2 - 2xy + y^2$ の符号数 $(n_+, n_-, n_0)$ は何か。

実二次形式を2つの異なる基底で対角化したとき、シルヴェスターの慣性法則は何を主張するか。

滑らかな関数 $f(x,y)$ の臨界点におけるヘッセ行列の二次形式が符号数 $(2,0,0)$ を持つとき、その臨界点はどの種類か。

参考文献

Roger A. Horn, Charles R. Johnson (2012). Matrix Analysis (2nd ed.)
Gilbert Strang (2016). Introduction to Linear Algebra