定理証明済み
シルヴェスターの慣性法則
内容
Rn 上の実二次形式 Q を対角化するのにどのような可逆な基底変換を用いても、正の係数の個数 n+、負の係数の個数 n−、零の係数の個数 n0 は常に同じである。三つ組 (n+,n−,n0) は Q の内在的な不変量である。
なぜ正しいのか?
新しい座標系に移ると軸が伸縮して対角成分 di の個々の大きさは変わり得るが、平坦な方向を通らずに上向きに曲がる方向を下向きに曲がる方向へ変えることは決してできない——したがって上向き・下向き・平坦な軸の本数は永遠に固定されている。
証明の概略
Q が2つの基底 {e1,…,en} と {f1,…,fn} で対角化され、正・負・零の個数が第1の基底では (n+,n−,n0)、第2の基底では (p+,p−,p0) であるとする。各基底を、正の係数が最初、次に負、最後に零となるよう並べる。
背理法のため n+>p+ と仮定する。V+=span(e1,…,en+) とおくと、これは次元 n+ の部分空間であり、非零のすべての x∈V+ に対して Q(x)>0 が成り立つ（V+ 上では e 展開の正の平方項のみが生き残るため）。
同様に W−=span(fp++1,…,fn) とおくと、これは次元 n−p+ の部分空間であり、すべての x∈W− に対して Q(x)≤0 が成り立つ（W− 上では f 展開の負と零の平方項のみが生き残るため）。
ここで Rn 内の次元を数える:n+>p+ より dimV++dimW−=n++(n−p+)>n である。部分空間の次元公式により、次元の和が n を超える2つの部分空間は自明な交わりしか持たないということはあり得ず、したがって非零ベクトル v∈V+∩W− が存在する。
v∈V+ かつ v=0 より Q(v)>0 でなければならず、同時に v∈W− より Q(v)≤0 でなければならず、真っ向から矛盾する。したがって n+≤p+ であり、2つの基底の対称性から p+≤n+ も言えるので n+=p+ である。−Q に全く同じ議論を適用すれば n−=p− が得られ、最後に n0=n−n+−n−=p0 となる。
ステップごとの証明
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