項別微分

まず、項別微分した級数が同じ収束半径を持つことを示す。$c_n = n a_n$ を項別微分(添字をずらしたもの)の係数とする。$n \to \infty$ のとき $n^{1/n} \to 1$ なので $\limsup_n |n a_n|^{1/n} = \limsup_n |a_n|^{1/n}$ となり、コーシー・アダマールの公式により $\sum a_n(x-c)^n$ と $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ は同じ収束半径 $R$ を持つ。

次に、$\rho < R$ を満たす任意の閉区間 $[c-\rho, c+\rho]$ を固定する。この区間上で導関数の級数 $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ は一様収束する。なぜなら($n$ が十分大きいとき)各項はやや大きい半径 $\rho' \in (\rho, R)$ に由来する定数を用いて $M \rho^{n-1}$ で抑えられ、ワイエルシュトラスのM判定法が適用できるからである。

$[c-\rho, c+\rho]$ 上での導関数級数の一様収束と、元の級数 $\sum a_n(x-c)^n$ の各点収束を合わせると、関数の級数を項別に微分する標準定理が使え、和 $f(x)$ は $[c-\rho,c+\rho]$ 上で微分可能であり、そこで $f'(x)$ は導関数級数の和に等しい。$\rho < R$ は任意だったので、これは $(c-R,\ c+R)$ 全体で成り立つ。