ダルブーの定理

ステップ1(線形問題の設定)。線形座標変換によって、まず選んだ点$p_0$で形式$\omega$が標準形式$\omega_0$にちょうど$p_0$自身で一致するようにする。これは、$\mathbb{R}^{2n}$上のあらゆる非退化な歪対称双線形形式が適切な基底により標準形に変換できるという線形代数の事実による。

ステップ2(補間する)。族$\omega_t=(1-t)\omega_0+t\omega$を$t\in[0,1]$に対して定義する。$\omega_0$と$\omega$は$p_0$で一致し、そこで共に閉かつ非退化なので、$\omega_t$も閉であり、必要なら近傍を縮小することで、すべての$t$について非退化となる。

ステップ3(モーザー方程式を解く)。$\omega$引く$\omega_0$は閉で$p_0$で消えるので、ポアンカレの補題により$d\sigma=\omega-\omega_0$を満たす1次形式$\sigma$が得られる。モーザーのトリックは、$\iota_{X_t}\omega_t=-\sigma$を解く時間依存ベクトル場$X_t$を求めるものであり、$\omega_t$が非退化であることからこれは各点で一意に$X_t$を定める。

ステップ4(流れを積分する)。$X_t$が生成する流れを$\varphi_t$とする。カルタンの公式による直接計算から$\mathcal{L}_{X_t}\omega_t=d\iota_{X_t}\omega_t+\iota_{X_t}d\omega_t=-d\sigma=-(\omega-\omega_0)$が得られ、$\dot\omega_t=\omega-\omega_0$と合わせると$\frac{d}{dt}(\varphi_t^*\omega_t)=0$となる:引き戻し$\varphi_t^*\omega_t$は$t$に関して一定であり、すべての$t$について$\omega_0$に等しい。

ステップ5(結論)。$t=1$とおくと、縮小した近傍上で$\varphi_1^*\omega=\omega_0$が得られ、$\varphi_1$に沿って引き戻した座標が求めるダルブー座標である。