シンプレクティック幾何学

リーマン多様体には曲率という局所不変量があり、ごく小さな近傍でも球面と平面を区別できる。ダルブーの定理は、シンプレクティック多様体にはそのような局所的な指紋が存在しないことを述べている:近くで見れば、あらゆるシンプレクティック多様体は標準形式を持つ平坦な位相空間$\mathbb{R}^{2n}$とまったく同じに見える。したがって、シンプレクティック位相幾何学の興味深い内容はすべて大域的なものである。

ステップ1(線形問題の設定)。線形座標変換によって、まず選んだ点$p_0$で形式$\omega$が標準形式$\omega_0$にちょうど$p_0$自身で一致するようにする。これは、$\mathbb{R}^{2n}$上のあらゆる非退化な歪対称双線形形式が適切な基底により標準形に変換できるという線形代数の事実による。

ステップ2(補間する)。族$\omega_t=(1-t)\omega_0+t\omega$を$t\in[0,1]$に対して定義する。$\omega_0$と$\omega$は$p_0$で一致し、そこで共に閉かつ非退化なので、$\omega_t$も閉であり、必要なら近傍を縮小することで、すべての$t$について非退化となる。

ステップ3(モーザー方程式を解く)。$\omega$引く$\omega_0$は閉で$p_0$で消えるので、ポアンカレの補題により$d\sigma=\omega-\omega_0$を満たす1次形式$\sigma$が得られる。モーザーのトリックは、$\iota_{X_t}\omega_t=-\sigma$を解く時間依存ベクトル場$X_t$を求めるものであり、$\omega_t$が非退化であることからこれは各点で一意に$X_t$を定める。

ステップ4(流れを積分する)。$X_t$が生成する流れを$\varphi_t$とする。カルタンの公式による直接計算から$\mathcal{L}_{X_t}\omega_t=d\iota_{X_t}\omega_t+\iota_{X_t}d\omega_t=-d\sigma=-(\omega-\omega_0)$が得られ、$\dot\omega_t=\omega-\omega_0$と合わせると$\frac{d}{dt}(\varphi_t^*\omega_t)=0$となる:引き戻し$\varphi_t^*\omega_t$は$t$に関して一定であり、すべての$t$について$\omega_0$に等しい。

ステップ5(結論)。$t=1$とおくと、縮小した近傍上で$\varphi_1^*\omega=\omega_0$が得られ、$\varphi_1$に沿って引き戻した座標が求めるダルブー座標である。

古典力学において、リウヴィルの定理は、ハミルトン方程式に従う粒子の気体が位相空間のより小さな領域へ自発的に圧縮できない数学的な理由である:流れはその領域を引き伸ばしたりねじったりして奇妙な形にすることはあっても、その体積が縮んだり増えたりすることは決してない。これは統計力学の基盤であり、この保存則を尊重しない素朴な数値積分法が長時間のシミュレーションで見かけ上のエネルギードリフトを生む理由を説明する。

ステップ1(カルタンの魔法公式)。任意のベクトル場$X$と形式$\omega$に対して、カルタンの公式は$\mathcal{L}_X\omega=d(\iota_X\omega)+\iota_X(d\omega)$を与える。$X$を$X_H$として適用すると、$\omega$は閉なので$d\omega=0$であり、ハミルトンベクトル場の定義により$\iota_{X_H}\omega=dH$なので、$\mathcal{L}_{X_H}\omega=d(dH)+0$が得られる。

ステップ2(形式自体は変化しない)。外微分はすべての関数に対して$d\circ d=0$を満たすので、$d(dH)=0$である。したがって$\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$となる:ハミルトンフローは体積だけでなくシンプレクティック形式そのものを保つ。

ステップ3(最高次のべきへ移る)。体積形式は$\omega^n=\omega\wedge\cdots\wedge\omega$($n$個の因子)である。ウェッジ積上のリー微分に対するライプニッツ則から$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=n\,\omega^{n-1}\wedge\mathcal{L}_{X_H}\omega$が得られ、ステップ2により$\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$なので右辺はゼロになる:$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$。

ステップ4(流れに沿って積分する)。$\phi_t$が$X_H$の流れであれば、$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$はまさにすべての$t$について$\frac{d}{dt}\phi_t^{*}(\omega^n)=0$を意味する。$\phi_0=\mathrm{id}$から$\phi_0^{*}(\omega^n)=\omega^n$が成り立つので、積分するとすべての$t$について$\phi_t^{*}(\omega^n)=\omega^n$が示され、これがリウヴィルの定理である。